Question

10．如圖，C在以AB為直徑的半圓⊙O上，I是△ABC的內心，AI，BI 的延長線分別交半圓⊙O于點D，E，AB=6，則DE的長為（　　）

• A． 3
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 5

Answer 1

分析 連結OD、OE．根據三角形內心的性質得出∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE．由圓周角定理得出∠C=90°，∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，進而得出∠DOB+∠AOE=90°，利用平角的定義得出∠DOE=90°，又OD=OE=$\frac{1}{2}$AB=3，然后根據勾股定理即可求出DE．

解答 解：如圖，連結OD、OE．
∵I是△ABC的內心，
∴∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE．
∵C在以AB為直徑的半圓⊙O上，
∴∠C=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴2∠DAB+2∠ABE=90°，
∵∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，
∴∠DOB+∠AOE=90°，
∴∠DOE=180°-（∠DOB+∠AOE）=90°，
∵OD=OE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴DE=$\sqrt{O{D}^{2}+O{E}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
故選B．

點評 本題考查了三角形的內切圓與內心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．也考查了圓周角定理，平角的定義以及勾股定理．作出輔助線證明∠DOE=90°是解題的關鍵．