Question

4．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F，請你認真閱讀下面關于這個圖的探究片段，完成所提出的問題．

（1）探究1：小強看到圖后，很快發(fā)現(xiàn)AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等，考慮到點E是邊BC的中點，因此可以選取AB的中點M，連接EM（圖1）后嘗試著完成了證明，請你寫出小強的證明過程．
（2）探究2：小強繼續(xù)探索，如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)AE=EF仍然成立，請你證明這一結論．
（3）探究3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結論AE=EF是否成立呢？若成立請你完成證明過程給小強看，若不成立請你說明理由．

Answer 1

分析 （1）取AB的中點M，連接EM，根據(jù)同角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，證明△MAE≌△CEF即可；
（2）在AB上取點P，連接EP，同（1）的方法相似，證明△PAE≌△CEF即可；
（3）延長BA至H，使AH=CE，連接HE，證明△HAE≌△CEF即可．

解答 （1）證明：如圖1，取AB的中點M，連接EM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
∵AM=EC，
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，∠AME=135°，
∵CF是正方形外角的平分線，
∴∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，∠B=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△MAE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠ECF}\\{AM=CE}\\{∠MAE=∠CEF}\end{array}\right.$，
∴△MAE≌△CEF，
∴AE=EF；
（2）如圖2，在AB上取點P，連接EP，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°，
∵AP=EC，
∴BP=BE，
∴∠BPE=45°，∠APE=135°，
∵CF是正方形外角的平分線，
∴∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，∠B=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△PAE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAE=∠CEF}\\{PA=EC}\\{∠APE=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△CEF，
∴AE=EF；
（3）如圖3，延長BA至H，使AH=CE，連接HE，
∵BA=BC，AH=CE，
∴BH=BE，
∴∠H=45°，
∵CF是正方形外角的平分線，
∴∠ECF=45°，
∴∠H=∠ECF，
∵∠AEF=90°，∠B=90°，∠HAE=∠B+∠BEA，∠CEF=∠AEF+∠BEA，
∴∠HAE=∠CEF，
在△HAE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAE=∠CEF}\\{AH=CE}\\{∠H=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△HAE≌△CEF，
∴AE=EF．

點評 本題考查的是正方形的性質、全等三角形的判定和性質，正確作出輔助線、靈活運用全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵，解答時，注意類比思想的正確運用．