Question

1．問題提出
（1）如圖1，AB∥DC，試在射線DC上找一點E，使S_{四邊形ABCD}=S_△BDE，并指出四邊形ACEB是何種四邊形．
（2）如圖2，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，將△ABC繞C點順時針旋轉60°得到△A'B'C，補全圖形并求出△AA'C的面積．
（3）如圖3，Rt△ABC中，∠A=60°，AB=4$\sqrt{3}$，點D在BC邊上，且BD=2，點G在AB邊上，點E、F在AC邊上，線段DE與線段GF交于點O，若DE=GF，∠EOF=60°，試求出四邊形DGEF面積的最大和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據題意作出圖形，由平行四邊形的性質即可得到結論；
（2）如圖2，連接AA′，過C作CD⊥AA′于D，根據旋轉的性質得到AC=A′C，∠ACA′=60°，得到△ACA′是等邊三角形，于是得到結論；
（3）如圖過E作EM∥FG，EM=FG，連接MG并延長，根據平行線的性質得到ME=DE，∠MED=∠EOF=60°，推出△EMD是等邊三角形，四邊形FEMG是平行四邊形過E作EH⊥MG于H，DN⊥AC于N，交MG于P，由MG∥AC，得到EH=PN于是得到S_△DEF=S_△MGE+S_△MGD，推出S_{四邊形DGEF}=S_△EMP，要使S_△EMD最大或最小，則DE取最大或最小，于是得到當DE=AD時，S_{四邊形DGEF}最大，當DE⊥AC時，S_{四邊形DGEF}最小，根據三角形的面積即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，連接AC，BD，過B作BE∥AC交DC的延長線于E，
則S_{四邊形ABCD}=S_△BDE，
∵AB∥CE，BE∥AC，
∴四邊形ACEB是平行四邊形；
（2）如圖2，連接AA′，過C作CD⊥AA′于D，
∵將△ABC繞C點順時針旋轉60°得到△A'B'C，
∴AC=A′C，∠ACA′=60°，
∴△ACA′是等邊三角形，
∴∠ACD=30°，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=2$\sqrt{3}$，
∴△AA'C的面積=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×4=4$\sqrt{3}$；
（3）如圖過E作EM∥FG，EM=FG，連接MG并延長，
∵DE=GF，∠EOF=60°，
∴ME=DE，∠MED=∠EOF=60°，
∴△EMD是等邊三角形，四邊形FEMG是平行四邊形，
過E作EH⊥MG于H，DN⊥AC于N，交MG于P，
∵MG∥AC，
∴EH=PN，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$EF•DN，S_△MGE+S_△DMG=$\frac{1}{2}$MG•EH+$\frac{1}{2}$MG•DP，
∴S_△DEF=S_△MGE+S_△MGD，
∴S_{四邊形DGEF}=S_△EMP，
∴要使S_△EMD最大或最小，則DE取最大或最小，
∵AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，DC=BC-BD=AB•tan∠A-BD=12-2=10，
∴AD＞DC，
∴當DE=AD時，S_{四邊形DGEF}最大，
此時DE=AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴S_{四邊形DGEF}=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{13}$×$\sqrt{39}$=13$\sqrt{3}$；
當DE⊥AC時，DE最小，S_{四邊形DGEF}最小，
此時DE=$\frac{1}{2}$CD=5，
∴S_{四邊形DGEF}=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$=$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
∴四邊形DGEF面積的最大值是13$\sqrt{3}$，最小值是$\frac{25\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了平行線的性質，等邊三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．