Question

13．如圖所示，在等邊△OAB中，OB=4，點A在第一象限．
（1）點A的坐標為（2，2$\sqrt{3}$）；
（2）在坐標平面內存在3個點C，使得以A、O、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形；
（3）在（2）的條件下，若點C為第一象限的點，且點P從點O出發，以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，點Q從點B同時出發，以同樣的速度沿射線BC的方向移動，試判斷△APQ的形狀；
（4）當△APQ周長最小時，求出直線PQ的關系式．

Answer 1

分析 （1）過A作AF⊥OB于點F，由等邊三角形的性質可求得OF和AF的長，可求得A點坐標；
（2）有三種情形，根據（1）中結果，直接寫出答案即可．
（3）結論：△APQ是等邊三角形．只要證明△AOP≌△BAQ，即可推出AP=AQ，∠OAP=∠BAQ，推出∠PAQ=∠OAB=60°．
（4）當AP⊥OB時，△APQ的周長最小，求出P、Q的坐標利用待定系數法即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作AF⊥OB于F．

∵△AOB是等邊三角形，
∴OA=OB=AB=4，∠AOF=60°，
在Rt△AOF中，∵∠AFO=90°，
∴∠OAF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=2，AF=OA•tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴點A的坐標為（2，2$\sqrt{3}$）．

（2）如圖2中，

當點C的坐標為（6，2$\sqrt{3}$）或（-2，2$\sqrt{3}$）或（2，-2$\sqrt{3}$）時，以A、O、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形；
故答案為3．

（3）結論：△APQ是等邊三角形．理由如下，
如圖3中，

∵△AOB，△ABC都是等邊三角形，
∴OB=AB，∠AOP=∠ABQ=∠OAB=60°，
∵OP=BQ，
在△AOP和△ABQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=BA}\\{∠AOP=∠ABQ}\\{OP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BAQ，
∴AP=AQ，∠OAP=∠BAQ，
∴∠PAQ=∠OAB=60°，
∴△APQ是等邊三角形．

（4）如圖3中，∵當AP⊥OB時，△APQ的周長最小，
∴OP=PB=2，BQ=OP=CQ=2，
∴P（2，0），Q（5，$\sqrt{3}$），
設直線PQ的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{5k+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線PQ的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查一次函數綜合題、等邊三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．