Question

2．老師布置了這樣一道作業(yè)題：
在△ABC中，AB=AC≠BC，點(diǎn)D和點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120°，連接AD，求∠ADB的度數(shù)．
小聰提供了研究這個問題的過程和思路：先從特殊問題開始研究，當(dāng)α=90°，β=30°時（如圖1），利用軸對稱知識，以AB為對稱軸構(gòu)造△ABD的軸對稱圖形△ABD′，連接CD′（如圖2），然后利用α=90°，β=30°以及等邊三角形的相關(guān)知識便可解決這個問題．
（1）請結(jié)合小聰研究問題的過程和思路，求出這種特殊情況下∠ADB的度數(shù)；
（2）結(jié)合小聰研究特殊問題的啟發(fā)，請解決老師布置的這道作業(yè)題．

Answer 1

分析 （1）如圖2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′，由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC是等邊三角形，再證明△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B=∠AD′C，由此即可解決問題．
（2）第①種情況：當(dāng)60°＜α≤120°時，如圖3中，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′，證明方法類似（1）．第②種情況：當(dāng)0°＜α＜60°時，如圖4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′．證明方法類似（1）．

解答 解：（1）如圖2中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°，…（1分）
∵∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°，
在△ABD和△ABD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AB}\\{∠ABD=∠ABD′}\\{BD=BD′}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=15°，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=60°，
∵BD=BD′，BD=BC，
∴BD′=BC，
∴△D′BC是等邊三角形，
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°，
在△AD′B和△AD′C中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD′}\\{D′B=D′C}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=$\frac{1}{2}$∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°．

（2）解：第①種情況：當(dāng)60°＜α≤120°時，
如圖3中，作∠AB D′=∠ABD，B D′=BD，連接CD′，AD′，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=$\frac{180-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=90°-$\frac{α}{2}$-β，
同（1）可證△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=90°-$\frac{α}{2}$-β，BD=BD′，∠ADB=∠AD′B
∴∠D′BC=∠ABD′+∠ABC=90°-$\frac{α}{2}$-β+90°-$\frac{α}{2}$=180°-（α+β），
∵α+β=120°，
∴∠D′BC=60°，
由（1）可知，△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∴∠AD′B=$\frac{1}{2}$∠BD′C=30°，
∴∠ADB=30°．

第②種情況：當(dāng)0°＜α＜60°時，
如圖4中，作∠ABD′=∠ABD，BD′=BD，連接CD′，AD′．

同理可得：∠ABC=$\frac{180°-α}{2}$=90°-$\frac{α}{2}$，
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=β-（90°-$\frac{α}{2}$），
同（1）可證△ABD≌△ABD′，
∴∠ABD=∠ABD′=β-（90°-$\frac{α}{2}$），BD=BD′，∠ADB=∠AD′B，
∴∠D′BC=∠ABC-∠ABD′=90°-$\frac{α}{2}$-[β-（90°-$\frac{α}{2}$）]=180°-（α+β），
∴D′B=D′C，∠BD′C=60°．
同（1）可證△AD′B≌△AD′C，
∴∠AD′B=∠AD′C，
∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C=360°，
∴∠ADB=∠AD′B=150°．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．