Question

11．如圖，在直線l上依次擺放著4031個正方形，已知斜放著的2015個正方形的面積分別是1、2、3、…、2015，正放置的2016個正方形的面積依次是S₁、S₂、S₃…、S₂₀₁₆，那么S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₆=1016064．

Answer 1

分析 運用勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據此即可解答．

解答 解：解：觀察發現，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
在△ABC和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠BDE=90°}\\{∠BAC=∠EBD}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB²=AC²+BC²，
∴AB²=AC²+ED²=S₁+S₂，
即S₁+S₂=1，
同理S₃+S₄=3，S₅+S₆=5，…，S₂₀₁₁+S₂₀₁₂=2011，
則S₁+S₂+S₃+S₄+…S₂₀₁₆=1+3+5+…+2015=$\frac{1+2015}{2}$×$\frac{1+2015}{2}$=1016064，
故答案為1016064

點評 此題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．