Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+4的圖象經過點A（1，3），點B是一次函數y=kx+4的圖象與正比例函數y=$\frac{1}{3}$x的圖象的交點．
（1）求一次函數y=kx+4的表達式；
（2）求點B的坐標．
（3）在x軸上找一點P，使PA+PB的值最小，直接寫出滿足條件的點P的坐標及△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入可求得k，則可求得一次函數的解析式；
（2）聯立兩函數解析式可求得點B的坐標；
（3）找A點關于x軸的對稱點A′，連接A′B交x軸于點P，則點P即為所求，由待定系數法可求得A′B的解析式，則可求得P點坐標，

解答 解：
（1）∵一次函數y=kx+4的圖象經過點A（1，3），
∴k+4=3，解得k=-1，
∴y=-x+4；
（2）∵點B是一次函數y=kx+4的圖象與正比例函數y=$\frac{1}{3}$x的圖象的交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{3}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（3，1）；
（3）設點A關于x軸的對稱點為A′，連接A′B交x軸于點P，

則PA=PA′，此時PA+PB=A′B，即PA+PB最短，
∵A（1，3），
∴A′（1，-3），
設直線A′B解析式為y=mx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+b=-3}\\{3m+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴直線A′B解析式為y=2x-5，
令y=0可得2x-5=0，解得x=2.5，
∴P（2.5，0），
設AA′交x軸于點C，則PC=2.5-1=1.5，
∴S_△PAB=S_△ABA′-S_△APA′=$\frac{1}{2}$×（3-1）•AA′-$\frac{1}{2}$×1.5×AA′=$\frac{1}{2}$×0.5×1.5=$\frac{3}{8}$．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數圖象的交點、軸對稱的性質及三角形的面積等知識．在（1）、（2）中注意函數圖象上的點的坐標滿足函數解析式是解題的關鍵，在（3）中確定出P點的位置是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度不大，較易得分．