Question

1．音樂噴泉可以使噴水造型隨音樂的節奏起伏變化而變化，市民廣場的音樂噴泉形狀如拋物線，設其出水口為原點，出水口離岸邊18米，音樂變化時，拋物線的頂點在直線y=kx上變動，從而產生一組不同的拋物線（圖2），這組拋物線的統一形式為y=ax²+bx．
（1）若已知k=1，且噴出的拋物線水線最大高度達3米，求此時a、b的值；
（2）若k=1，噴出的水恰好達到岸邊，求此時噴出的拋物線水線最大高度．
（3）若a=-$\frac{2}{7}$，要使噴出的拋物線水落地時離岸邊不能少于$\frac{1}{2}$米且不能超出2米，求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意拋物線的頂點坐標為（3，3），根據頂點坐標公式可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=3}\\{\frac{-{b}^{2}}{4a}=3}\end{array}\right.$，由此即可解決問題．
（2）判斷出頂點坐標，即可解決問題．
（3）根據拋物線的對稱軸的位置，列出不等式，求出b的取值范圍$\frac{36}{7}$≤b≤$\frac{39}{7}$，當b=$\frac{39}{7}$時，拋物線的頂點坐標（$\frac{39}{4}$，$\frac{1521}{56}$），此時$\frac{1521}{56}$=$\frac{39}{4}$k，解得k=$\frac{39}{14}$，
當b=$\frac{36}{7}$時，拋物線的頂點坐標為（9，$\frac{162}{7}$），此時$\frac{162}{7}$=9k，解得k=$\frac{18}{7}$，由此可得k的取值范圍為$\frac{18}{7}$≤k$≤\frac{39}{14}$．

解答 解：（1）由題意拋物線的頂點坐標為（3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=3}\\{\frac{-{b}^{2}}{4a}=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴a=-$\frac{1}{3}$，b=2．

（2）由題意拋物線的對稱軸x=9，
∵頂點在直線y=x上，
∴頂點坐標為（9，9），
∴此時噴出的拋物線水線最大高度為9米．

（3）由題意9≤-$\frac{b}{2a}$≤$\frac{39}{4}$，
∴9≤$\frac{7}{4}$≤$\frac{39}{4}$，
∴$\frac{36}{7}$≤b≤$\frac{39}{7}$，
當b=$\frac{39}{7}$時，拋物線的頂點坐標（$\frac{39}{4}$，$\frac{1521}{56}$），此時$\frac{1521}{56}$=$\frac{39}{4}$k，解得k=$\frac{39}{14}$，
當b=$\frac{36}{7}$時，拋物線的頂點坐標為（9，$\frac{162}{7}$），此時$\frac{162}{7}$=9k，解得k=$\frac{18}{7}$，
∴k的取值范圍為$\frac{18}{7}$≤k$≤\frac{39}{14}$．

點評 本題考查二次函數的應用、一次函數的應用等知識，解題的關鍵是靈活運用為二次函數的性質解決問題，屬于中考常考題型．