Question

11．若$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$的整數部分是a，小數部分是b，則a²+（1+$\sqrt{7}$）ab=10．

Answer 1

分析 先將$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$分母有理化并根據$\sqrt{7}$的大小確定出取值范圍，然后求出a、b的值，再代入代數式進行計算即可得解．

解答 解：$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$=$\frac{3+\sqrt{7}}{（3-\sqrt{7}）（3+\sqrt{7}）}$=$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$，
∵2＜$\sqrt{7}$＜3，
∴5＜3+$\sqrt{7}$＜6，
∴2.5＜$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$＜3，
∵$\frac{1}{3-\sqrt{7}}$的整數部分是a，小數部分是b，
∴a=2，
b=$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$-2=$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$，
所以，a²+（1+$\sqrt{7}$）ab=2²+（1+$\sqrt{7}$）×2×$\frac{\sqrt{7}-1}{2}$=4+（7-1）=4+6=10．
故答案為：10．

點評 本題考查了二次根式的化簡求值，估算無理數的大小，分母有理化，難點在于將所給二次根式分母有理化并確定出取值范圍從而求出a、b的值．