Question

20．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD=90°，∠D+2∠B=180°，AD=5，AB=2，CD=3，則AC=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)BA，CD交于E，作∠ADE的平分線DF交AE于F，過(guò)A作AH⊥CD于H，于是得到∠ADE+∠ADC=180°，∠ADE=2∠ADF=2∠EDF，根據(jù)已知條件得到∠B=∠EDF，推出∠EFD=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DE=AD=5，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EF=4（負(fù)值舍去），根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)的AH=$\frac{24}{5}$，EH=$\frac{32}{5}$，由勾股定理即刻得到結(jié)論．

解答 解：延長(zhǎng)BA，CD交于E，作∠ADE的平分線DF交AE于F，過(guò)A作AH⊥CD于H，
則∠ADE+∠ADC=180°，∠ADE=2∠ADF=2∠EDF，
∵∠ADC+2∠B=180°，
∴∠B=∠EDF，
∵∠BCD=90°，
∴∠B+∠E=90°，
∴∠FDE+∠E=90°，
∴∠EFD=90°，
∴DF⊥AE，
∴DE=AD=5，
∵∠E=∠E，
∴△DEF∽△AEC，
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{EF}{CE}$，即$\frac{5}{2+2EF}$=$\frac{EF}{8}$，
∴EF=4（負(fù)值舍去），
∴BE=10，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}-C{E}^{2}}$=6，
∵AH∥BC，
∴△AEH∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{EH}{CE}$=$\frac{AH}{BC}$，
∴AH=$\frac{24}{5}$，EH=$\frac{32}{5}$，
∴CH=$\frac{8}{5}$，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
故答案為：$\frac{8\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．