Question

已知：如圖，點A（2，m）在雙曲線y=

2

x

（x＞0）上，連結OA，過點A作直線l⊥OA交雙曲線y=

2

x

（x＞0）于另一點C，AB⊥x軸于點B，點M是直線l的一個動點，作MN⊥y軸于點N，連結OM．
（1）點C的坐標為

 

；
（2）當∠OMN＞∠OAB時，寫出符合要求的點M的橫坐標t的取值范圍：

 

．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）先求出點A坐標，再確定直線OA的解析式，根據直線l和OA的垂直關系，求出l的解析式，根據C為直線l和雙曲線的交點通過解方程組求出點C坐標即可；
（2）根據∠OMN＞∠OAB，由兩個角的三角函數關系即可求出t的取值范圍．

解答： 解：（1）把A（2，m）代入雙曲線y=

2

x

得：m=1，
∴A（2，1），
設直線OA的解析式為y=kx，
把A（2，1）代入得：2k=1，
解得：k=

1

2

，
∴y=

1

2

x，
設直線l的解析式為y=ax+b，
∵直線l⊥OA，
∴

1

2

a=-1，
∴a=-2，
把A（2，1）代入得：b=5，
∴直線l為y=-2x+5，
解方程組

y= 2 x y=-2x+5

得：

x= 1 2 y=4

，或

x=2 y=1

，
∴C（

1

2

，4）；
故答案為：C（

1

2

，4）；
（2）∵點M在直線y=-2x+5上，
∴M（t，-2t+5），分三種情況討論：
①當M在第一象限時，
∵∠OMN＞∠OAB，tan∠OMN=

ON

MN

=

-2t+5

t

，
tan∠OAB=

OB

AB

=

2

1

=2，
∴

-2t+5

t

＞2，
∴t＜

5

4

且t≠0；
②當M在第二象限時，
ON=-2t+5，MN=-t，
∵∠OMN＞∠OAB，tan∠OMN=

ON

MN

=

-2t+5

-t

，
由①得TAN∠OAB=2，
∴

-2t+5

-t

＞2，無解；
③當M在第四象限時，
ON=-（-2t+5）=2t-5，MN=t，
∵∠OMN＞∠OAB，tan∠OMN=

ON

MN

=

2t-5

t

，
由①得TAN∠OAB=2，
∴

2t-5

t

＞2，無解；
綜上所述：當∠OMN＞∠OAB時，t＜

5

4

且t≠0；
故答案為：t＜

5

4

且t≠0．

點評：本題通過反比例函數的知識，考查用待定系數法求一次函數的解析式以及通過解方程組求交點的方法和三角函數的關系；培養學生綜合運用知識進行推理和計算能力以及探究精神．