Question

16．【提出問題】已知如圖1，P是∠ABC、∠ACB的角平分線的交點，你能找到∠P、∠A的關系嗎？
【分析問題】在解決這個問題時，某小組同學是這樣做的：
先賦予∠A幾個特殊值：
當∠A=80°時，計算出∠P=130°；
當∠A=40°時，計算出∠P=110°；
當∠A=100°時，計算出∠P=140°；
…由以上特例猜想∠P與∠A的關系為：∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A．再證明這一結論：
證明：∵點P是∠ABC、∠ACB的角平分線的交點．
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC；∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
又∵∠A+（∠ABC+∠ACB）=180°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A
【解決問題】請運用以上解決問題的“思想方法”解決下面的幾個問題：
（1）如圖2，若點P時∠ABC、∠ACB的三等分線的交點，即∠PBC=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{3}$∠ACB，猜測∠P與∠A的關系為∠P=$\frac{1}{3}$∠A+$\frac{2}{3}$×180°，證明你的結論．
（2）若點P時∠ABC、∠ACB的四等分線的交點，即∠PBC=$\frac{1}{4}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{4}$∠ACB，則∠P與∠A的關系為∠P=$\frac{1}{4}$∠A+$\frac{3}{4}$×180°．（直接寫出答案，不需要證明）
（3）若點P時∠ABC、∠ACB的n等分線的交點，即∠PBC=$\frac{1}{n}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{n}$∠ACB，則∠P與∠A的關系為$\frac{n-1}{n}$•180°+$\frac{1}{n}$∠A．（直接寫出答案，不需要證明）

Answer 1

分析 （1）假設∠A=60°，先根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據三等分線求出∠PBC+∠PCB，根據三角形的內角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），代入求出即可；
（2）假設∠A=60°，同（1）可得出結論；
（3）先根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據n等分線求出∠PBC+∠PCB，根據三角形的內角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），代入求出即可．

解答 解：（1）假設∠A=60°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的三等分線，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{3}$（180°-60°）=40°，
∴∠P=180°-（∠OBC+∠OCB）=140°，即∠P=$\frac{1}{3}$∠A+$\frac{2}{3}$×180°．
故答案為：∠P=$\frac{1}{3}$∠A+$\frac{2}{3}$×180°；

（2）假設∠A=60°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的四等分線，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{4}$（180°-60°）=30°，
∴∠P=180°-（∠OBC+∠OCB）=150°，即∠P=$\frac{1}{4}$∠A+$\frac{3}{4}$×180°．
故答案為：∠P=$\frac{1}{4}$∠A+$\frac{3}{4}$×180°；

（3）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的n等分線，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{n}$（180°-∠A），
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-$\frac{1}{n}$（180°-∠A）
=$\frac{n-1}{n}$•180°+$\frac{1}{n}$∠A．
故答案為：$\frac{n-1}{n}$•180°+$\frac{1}{n}$∠A．

點評 本題考查的是三角形的內角和定理及角平分線定義，解此題的關鍵是能用∠A表示出∠OBC+∠OCB的度數，題目比較好，求解過程類似．