Question

1．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）求證：AB=AC；
（2）若AB=8，∠B=60°，則CF的長(zhǎng)為2．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的性質(zhì)可求得DE=DF，則可證明Rt△BDE≌Rt△CDF，可求得∠B=∠C，可證得AB=AC；
（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合條件可知△ABC為等邊三角形，則可求得CD，在Rt△CDF中可求得CF=$\frac{1}{2}$CD，可求得答案．

解答 （1）證明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：
∵AB=AC，且∠B=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴BC=AB=8，∠C=∠B=60°，
∵BD=CD，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△CDF中，可求得∠CDF=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)和判定，在（1）中證得∠B=∠C是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得CD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．