Question

17．如圖，直線l經(jīng)過A（-3，0），B（0，6），過原點(diǎn)O的直線l₁與直線l交于點(diǎn)P，使直線l、直線l₁與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是△ABO的三分之一，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-4，-2）或（-2，2）或（-1，4）．

Answer 1

分析 先求直線AB的解析式，設(shè)P（m，2m+6），分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)直線l₁分別在一、三象限或二、四象限時(shí)，根據(jù)直線l₁與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是△ABO的三分之一列等式可求得結(jié)論．

解答 解：設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
把A（-3，0），B（0，6）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為：y=2x+6，
∵A（-3，0），B（0，6）
∴AO=3，OB=6
設(shè)P（m，2m+6），
①當(dāng)直線l₁經(jīng)過一、三象限時(shí)，如圖1，點(diǎn)P在第三象限，
過P作PE⊥x軸于E，
∵S_△AOP=$\frac{1}{3}{S}_{△AOB}$，
∴$\frac{1}{2}$AO•PE=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$AO•BO，
∴PE=$\frac{1}{3}$OB，
-2m-6=$\frac{1}{3}$×6，
m=-4，
當(dāng)m=-4時(shí)，2m+6=2×（-4）+6=-2；
此時(shí)P（-4，-2）；
②當(dāng)直線l₁經(jīng)過二、四象限時(shí)，如圖2，點(diǎn)P在第二象限，
過P作PE⊥x軸于E，過P作PF⊥y軸于F，
若S_△APO=$\frac{1}{3}$S_△AOB時(shí)，
則$\frac{1}{2}$OA•PE=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$AO•BO，
PE=$\frac{1}{3}$OB，
2m+6=$\frac{1}{3}$×6，
m=-2，
當(dāng)m=-2時(shí)，2m+6=2×（-2）+6=2，
∴P（-2，2），
若S_△BPO=$\frac{1}{3}$S_△AOB時(shí)，
則$\frac{1}{2}$OB•PF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$OA•OB，
PF=$\frac{1}{3}$OA，
-m=$\frac{1}{3}$×3，
m=-1，
當(dāng)m=-1時(shí)，2m+6=-2+6=4，
∴P（-1，4），
綜上所述，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-4，-2）或（-2，2）或（-1，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，在本題中，利用解析式表示直線上點(diǎn)的坐標(biāo)，這在函數(shù)題中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握；對(duì)于直線與坐標(biāo)軸圍成的面積，利用數(shù)形結(jié)合的思想，并采用了分類討論的方法，才使本題得以解決．