Question

5．如圖，已知在⊙O中，AC是直徑，CB是⊙O的切線，連接AB，AB與⊙O交于點(diǎn)D，連接OD，CD，E為BC上一點(diǎn)，連接DE，且CE=DE．
（1）若∠DCE=30°，OC=6，求$\widehat{CD}$的長(zhǎng)度；
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）試判斷∠DCE與∠DOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于CB是⊙O的切線，根據(jù)∠DCE的度數(shù)可先求出∠DOE的角度，然后利用弧長(zhǎng)公式即可求出答案
（2）連接OE，證明△ODE≌△OCE，然后利用對(duì)應(yīng)角相等即可求出∠ODE=90°
（3）由于OD=OC，DE=CE，從而可知OE是CD的垂直平分線，從而可知∠DCE=∠COE

解答 解：（1）∵BC是⊙O的切線
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB-∠DCE=60°，
∵OD=OC，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∴$\widehat{BC}$的長(zhǎng)度為：$\frac{60°π×6}{180°}$=2π，
（2）連接OE，
在△ODE與△OCE中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{OE=OE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$
∴△ODE≌△OCE（SSS）
∴∠ODE=∠OCE=90°
∴DE是⊙O的切線
（3）由（2）可知∠DOE=∠COE
∵DE=CE
OD=OC
∴OE是CD的垂直平分線
∴∠DCE+∠OCD=∠OCD+∠COE=90°
∴∠DCE=∠COE
∴∠DCE=∠DOC

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問題，涉及全等三角形的判定，切線的性質(zhì)與判定，弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的性質(zhì)與判定，考查的知識(shí)較為綜合，屬于中等題型．