Question

18．如圖，將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC邊落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片（如圖①）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展開后得到△AEF（如圖②）．EF與AD交于點(diǎn)O．
求證：△AEF為等腰三角形．

（1）下框中是小明對此題的解答．

小明的解答是否正確？如果不正確，請用圈出他解答過程中發(fā)生錯(cuò)誤的步驟，指出錯(cuò)誤的原因并完成正確的解答．
（2）如圖③，在圖②中連接DE、DF．求證：四邊形AEDF是菱形．

Answer 1

分析 （1）小明的解答錯(cuò)誤，利用三角形的內(nèi)角和可以得出∠AEF=∠AFE，所以△AEF為等腰三角形；
（2）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形得結(jié)論．

解答 解：（1）小明的解答錯(cuò)誤．因?yàn)橛烧郫B無法得到OE=OF，
由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，
又由折疊知，∠AOE=∠AOF=90°，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF為等腰三角形；          

（2）由折疊知，EA=ED，F(xiàn)A=FD，
由（1）知AE=AF，
∴EA=ED=FA=FD，
∴四邊形AEDF是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)和判定、折疊的性質(zhì)，明確折疊前后的兩條邊相等，兩個(gè)角相等；并熟練掌握菱形的判定，常用的判定方法為：四邊相等的四邊形是菱形．