Question

1．拋物線y=ax²+bx（a≠0）與雙曲線y=$\frac{k}{x}$ 相交于點A、B．已知點B的坐標為（-2，-2），點A在第一象限內且縱坐標為4．過點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C．在x軸上D（4，0），連CD交y軸點M，一動點P從C點出發以每秒1個單位長度的速度沿C-A-D運動
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）過P作直線PQ∥AM交CD于點Q，設PQ掃過△ACD的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數關系式；
（3）在線段CD上還有一動點R問是否存在某一時刻AR+RP為4？若存在直接寫出時間t；不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點B的坐標代入雙曲線解析式求出k值，再求出點A的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）分兩種情形①如圖1中，當0＜t≤5時，設PQ掃過△ACD的圖形是△CPQ，作QN⊥AC于N．由△CPQ∽△CAM，得$\frac{CP}{CA}$=$\frac{QN}{MG}$，求出QN即可．②如圖2中，當5＜t≤10時，設PQ掃過△ACD的圖形是四邊形ACQP，根據S=S_△ACD-S_△PQD求解即可．
（3）①由題意點A關于直線CD的對稱點A′在x軸上，過點A′作A′P⊥AC于P，交CD于R．此時PR+AR=PR+RA′=A′P=4，求出CP即可解決問題．②如圖4中，點運動到線段AD上時，AR⊥x軸于P′，P與P′關于CD對稱，此時t=7s．

解答 解：（1）∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$經過點B（-2，-2），
∴$\frac{k}{-2}$=-2，
解得k=4，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{4}{x}$，
∵點A的縱坐標為4，
∴$\frac{4}{x}$=4，
解得x=1，
∴點A（1，4），
把點A、B代入拋物線y=ax²+bx（a≠0）得，
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=4}\\{4a-2b=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²+3x；

（2）∵直線AC∥x軸，A（1，4），
∴x²+3x=4，
解得x₁=1，x₂=-4，
∴點C的坐標為（-4，4），
∵OD=4，
∴點D的坐標為（4，0），
設直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
則$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
當x=0時，y=2，
∴點M的坐標為（0，2），
∵AC=5，AD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，設AC交y軸于G，
∵CG∥OD，CG=OD=4，
∴$\frac{CG}{OD}$=$\frac{CM}{DM}$=$\frac{GM}{MO}$=1，∠ACD=∠CDO，
∴∠ADC=∠CDO，CM=DM，OM=GM=2，
∴AM⊥CD，
①如圖1中，當0＜t≤5時，設PQ掃過△ACD的圖形是△CPQ，作QN⊥AC于N．

∵PQ∥AM，
∴∠CPQ=∠CAM，∵∠PCQ=∠ACM，
∴△CPQ∽△CAM，
∴$\frac{CP}{CA}$=$\frac{QN}{MG}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{QN}{2}$，
∴QN=$\frac{2}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•CP•QN=$\frac{1}{5}$t²．
②如圖2中，當5＜t≤10時，設PQ掃過△ACD的圖形是四邊形ACQP．

∵PQ∥AM，
∴$\frac{PQ}{AM}$=$\frac{DP}{DA}$=$\frac{DQ}{DM}$，
∴$\frac{PQ}{\sqrt{5}}$=$\frac{10-t}{5}$=$\frac{DQ}{2\sqrt{5}}$，
∴PQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（10-t），DQ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（10-t），
∴S=S_△ACD-S_△PQD=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$（10-t）×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（10-t）=-$\frac{1}{5}$t²+4t-10，
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{5}{t}^{2}}&{（0＜t≤5）}\\{-\frac{1}{5}{t}^{2}+4t-10}&{（5＜t≤10）}\end{array}\right.$．

（3）存在．①如圖3中，

由（2）可知，∠CDA=∠CDO，
∴點A關于直線CD的對稱點A′在x軸上，過點A′作A′P⊥AC于P，交CD于R．此時PR+AR=PR+RA′=A′P=4，
∵DA=DA′=5，
∴OA′=PG=1，
∴CP=3，
∴t=3s時，線段CD上有一動點R滿足AR+RP為4．
②如圖4中，點運動到線段AD上時，AR⊥x軸于P′，P與P′關于CD對稱，此時t=7s．

綜上所述，t=3s或7s時，AR+RP為4．

點評 本題是二次函數綜合題型、待定系數法、勾股定理的應用、以及三角形的面積、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用對稱解決有關問題，屬于中考壓軸題．