Question

13．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點M，N，與y軸交于點A（0，1），且經過點B（1，1），過點B作BC⊥x軸，交x軸于點C．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）點E是線段OC上的一點（不與點O，C重合），AE⊥EF，且EF與∠BCN的平分線交于點F，當點E滑動到某處時，點F恰好落在拋物線上，求此時點E的坐標．
（3）在（2）的條件下y軸上是否存在點D，使得四邊形BDEF是平行四邊形？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求拋物線的解析式；
（2）如圖1，作輔助線，構建全等三角形，設E（a，0），證明△AGE≌△ECF和△AOE≌△EHF，得出點F的坐標，再代入到拋物線的解析式中，求出a的值，根據已知進行取舍；
（3）由（2）中的a值，計算出點F的坐標，求出BF的長，即是ED的長，利用勾股定理可求得OD的長，寫出點D的坐標．

解答 解：（1）把點A（0，1），點B（1，1）分別代入拋物線y=-x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-1+b+c=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的解析式為：y=-x²+x+1；
（2）如圖1，設E（a，0），則OE=a，
在AO上取一點G，使OG=OE，連接EG，
則△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OGE=45°，
∴∠AGE=135°，
∵A（0，1），B（1，1），BC⊥OC，
∴OA=OC=1，
∴AG=EC，
∵FC平分∠BCN，∠BCN=90°，
∴∠FCN=45°，
∴∠ECF=135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEO+∠FEC=90°，
∵∠AOE=90°，
∴∠OAE+∠AEO=90°，
∴∠FEC=∠OAE，
∴△AGE≌△ECF，
∴AE=EF，
過F作FH⊥x軸于H，
∵∠AOE=∠EHF=90°，
∴△AOE≌△EHF，
∴EH=AO=1，FH=OE=a，
∴F（a+1，a），
∵F在拋物線上，
∴-（a+1）²+a+1+1=a，
解得：a₁=-1$+\sqrt{2}$，a₂=-1-$\sqrt{2}$，
∵點E是線段OC上的一點（不與點O，C重合），
∴0＜a＜1，
∴a=-1+$\sqrt{2}$，
∴E（-1+$\sqrt{2}$，0）；
（3）存在，如圖2，
由（2）得：F（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1），
由勾股定理得：BF=$\sqrt{（\sqrt{2}-1）^{2}+（1-\sqrt{2}+1）^{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$，
∵四邊形BDEF是平行四邊形，
∴ED=BF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{（\sqrt{6}-\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{2}-1）^{2}}$=2-$\sqrt{2}$，
∴D（0，2-$\sqrt{2}$）．

點評 本題是二次函數的綜合題，考查了利用待定系數法求二次函數的解析式、全等三角形和等腰直角三角形的性質和判定、平行四邊形的性質，本題是函數與幾何圖形的綜合問題，利用全等三角形得出線段的長，根據點的坐標特征寫出點的坐標．