Question

8．在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC邊上一點，求證：BD²+CD²=2AD²．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要證明BD²+CD²=2AD²，只需找出BD、CD、AD三者之間的關系即可，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，ED=BD-BE=CE-CD，代入求出三者之間的關系即可得證．

解答 證明：作AE⊥BC于E，如圖所示：
由題意得：ED=BE-BD=CD-CE，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
由勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，AD²=AE²+ED²，
∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BE-BD）²+AC²-CE²+（CE-CD）²
=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE
=AB²+AC²+BD²+CD²-2×$\frac{1}{2}$BC×BC
=BD²+CD²，
即：BD²+CD²=2AD²．

點評 本題主要考查勾股定理，關鍵在于找出直角三角形利用勾股定理求證，本題主要運用“等量代換”求出BD、CD、AD三者之間的關系．