Question

16．直角三角形的外接圓和內切圓半徑分別是5和2，則該直角三角形中較小的銳角的正弦值是$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 利用直角三角形的斜邊為直徑，內切圓半徑為兩直角邊的和與斜邊的差的一半，若設直角三角形的斜邊為c，兩直角邊分別為a、b，則c=2×5=10，$\frac{a+b-c}{2}$=2，加上勾股定理可計算出a、b的值，然后根據正弦的定義求解．

解答 解：設直角三角形的斜邊為c，兩直角邊分別為a、b，
根據題意得c=2×5=10，$\frac{a+b-c}{2}$=2，
∴c=10，a+b=14，
而a²+b²=c²，
∴（14-b）²+b²=100，解得b=8或b=6，
當b=8時，a=6；當b=6時，a=8，
∴三角形的兩直角邊為6、8，
∴該直角三角形中較小的銳角的正弦值=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．
故答案為$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查了三角形內心的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．也考查了三角形的外心．