Question

3．如圖，直線y=2x-a（a＜0）與y軸交于點A，與x軸交于點E，拋物線y=x²-2x+a的頂點為C，與y軸交于點B，直線BC與直線AE交于點D．

（1）求點B、C、D的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）拋物線上是否存在一點P，使得以P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出a的值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=0代入到y=x²-2x+a求點B的坐標，將二次函數的解析式配方可求C的坐標，求直線BC的解析式，再求直線BC和直線AE的交點D；
（2）存在，分兩種情況：①以AB為對角線時，如圖1，根據OD=OP確定P的坐標后代入拋物線的解析式中，求a的值，計算點P的坐標；
②以AB為邊時，如圖2，根據PD=AB列式得出結論．

解答 解：（1）當x=0時，y=a，
∴B（0，a），
y=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，
∴頂點C（1，a-1），
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B（0，a）、C（1，a-1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=a}\\{k+b=a-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=a}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-x+a，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{y=2x-a}\end{array}\right.$     解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2a}{3}}\\{y=\frac{a}{3}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{2a}{3}$，$\frac{a}{3}$）；

（2）存在一點P，使得以P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，
分兩種情況：
①以AB為對角線時，如圖1，
∵A（0，-a），B（0，a），
∴OA=OB，
∴O是?ADBP對角線的交點，
∴OD=OP，
∵D（$\frac{2a}{3}$，$\frac{a}{3}$），
∴P（-$\frac{2a}{3}$，-$\frac{a}{3}$），
∵P在拋物線上，
∴-$\frac{a}{3}$=$（-\frac{2a}{3}）^{2}$-2×$（-\frac{2a}{3}）$+a，
解得：a=-6，
當a=-6時，-$\frac{2a}{3}$=-$\frac{2×（-6）}{3}$=4，
-$\frac{a}{3}$=-$\frac{-6}{3}$=2，
∴P（4，2）；
②以AB為邊時，如圖2，
∵四邊形ADBP是平行四邊形，
∴AB=PD=-2a，AB∥PD，
∵AB⊥x軸，
∴PD⊥x軸，
∵D（$\frac{2a}{3}$，$\frac{a}{3}$），
∴P（$\frac{2a}{3}$，-$\frac{5a}{3}$），
∴-$\frac{5a}{3}$=$（\frac{2a}{3}）^{2}-2×\frac{2a}{3}$+a，
a=-3，
當a=-3時，$\frac{2a}{3}$=$\frac{2×（-3）}{3}$=-2，
-$\frac{5a}{3}$=-$\frac{5×（-6）}{3}$=10，
∴P（-2，10）；
綜上所述，使得以P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，此時點P（4，2）或（-2，10），對應a的值分別為-6或-3．

點評 此題主要考查了二次函數的綜合應用，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數形結合是這部分考查的重點，也是難點，同時對于第2問構成平行四邊形時，要采用分類討論的思想解決．