Question

13．觀察下列等式：
第一個等式：a₁=$\frac{3}{1×2×{2}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$；
第二個等式：；$\frac{4}{2×3×{2}^{3}}$=$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$；
第三個等式：；a₃=$\frac{5}{3×4×{2}^{4}}$=$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$
第四個等式：
…
第n個等式：a_n=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$；（用含n的式子表示）
則a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$；（用含n的代數式表示）

Answer 1

分析 根據已知三個等式可得第n個等式，再利用得出的規律裂項相消可得．

解答 解：由題意知a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$，
a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$+$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$，
故答案為：$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$，=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$．

點評 本題主要考查數字的變化規律，解決此類問題的關鍵是找出所求數字與序號的關系．