Question

2．在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦AC翻折交AB于點D，連結CD．

（1）如圖1，若點D與圓心O重合，AC=2，求⊙O的半徑r；
（2）如圖2，若點D與圓心O不重合，∠BAC=25°，求∠DCA的度數．

Answer 1

分析 （1）過點O作OE⊥AC于E，由垂徑定理可知AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，根據翻折后點D與圓心O重合，可知OE=$\frac{1}{2}$r，在Rt△AOE中，根據勾股定理可得出r的值；
（2）連接BC，根據直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據翻折的性質得到$\widehat{ADC}$所對的圓周角，然后根據∠ACD等于$\widehat{ADC}$所對的圓周角減去$\widehat{CD}$所對的圓周角，計算即可得解．

解答 解：（1）如圖1，過點O作OE⊥AC于E
則AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵翻折后點D與圓心O重合，
∴OE=$\frac{1}{2}$r，
在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，
即r²=1²+（$\frac{1}{2}$r）²，解得r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°，
根據翻折的性質，$\widehat{AC}$所對的圓周角為∠B，$\widehat{ABC}$所對的圓周角為∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠DCA=∠CDB-∠A=65°-25°=40°．

點評 本題考查了垂徑定理，勾股定理的應用，翻折的變換的性質，以及圓周角定理，（1）作輔助線構造出半徑、半弦、弦心距為邊的直角三角形是解題的關鍵，（2）根據同弧所對的圓周角相等求解是解題的關鍵．