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7.如圖,AB為⊙O直徑,點D為AB下方⊙O上一點,點C為弧ABD中點,連接CD,CA.
(1)求證:∠ABD=2∠BDC;
(2)過點C作CE⊥AB于H,交AD于E,求證:EA=EC;
(3)在(2)的條件下,若OH=5,AD=24,求線段DE的長

分析 (1)如圖1,設∠BDC=α,∠DAC=β,根據圓周角定理得到∠CAB=∠BDC=α,連接AD,由AB為⊙O直徑,得到∠ADB=90°,根據余角的性質即可得到結論;
(2)根據已知條件得到∠ACE=∠ADC,等量代換得到∠ACE=∠CAE,于是得到結論;
(3)如圖2,連接OC,根據圓周角定理得到∠COB=2∠CAB,等量代換得到∠COB=∠ABD,根據相似三角形的性質得到OH=5,根據勾股定理得到AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=26,由相似三角形的性質即可得到結論.

解答 解:(1)如圖1,設∠BDC=α,∠DAC=β,
則∠CAB=∠BDC=α,
∵點C為弧ABD中點,
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$,
∴∠ADC=∠DAC=β,
∴∠DAB=β-α,
連接AD,
∵AB為⊙O直徑,
∴∠ADB=90°,
∴α+β=90°,
∴β=90°-α,
∴∠ABD=90°-∠DAB=90°-(β-α),
∴∠ABD=2α,
∴∠ABD=2∠BDC;
(2)∵CE⊥AB,
∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°,
∵∠CAB=∠CDB,
∴∠ACE=∠ADC,
∵∠CAE=∠ADC,
∴∠ACE=∠CAE,
∴AE=CE;
(3)如圖2,連接OC,
∴∠COB=2∠CAB,
∵∠ABD=2∠BDC,∠BDC=∠CAB,
∴∠COB=∠ABD,
∵∠OHC=∠ADB=90°,
∴△OCH∽△ABD,
∴$\frac{OH}{BD}=\frac{OC}{AB}=\frac{1}{2}$,
∵OH=5,
∴BD=10,
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=26,
∴AO=13,
∴AH=18,
∵△AHE∽△ADB,
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AB}$,即$\frac{18}{24}$=$\frac{AE}{26}$,
∴AE=$\frac{39}{2}$,
∴DE=$\frac{9}{2}$.

點評 本題考查了垂徑定理,相似三角形的判定和性質,等腰三角形的判定和性質,勾股定理,正確的作出輔助線是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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