Question

17．如圖，點A、B、D、C都在圓上$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$，AD與BC相交于點E．
（1）圖中一共有3對相似三角形；
（2）若AB=6，AC=4，AE=3，試求AD、CD的長．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理容易得出結論；
（2）由相似三角形的對應邊成比例求出AD，得出DE，即可求出CD的長．

解答 解：（1）圖中一共有3對相似三角形；理由如下：
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$，
∴∠BAD=∠BCD=∠DAC，
∵∠B=∠D，
∴△ABE∽△CDE∽△ADC，圖中共有3對相似三角形，
故答案為：3；
（2）∵△ABE∽△ADC∽△CDE，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AC}$，$\frac{CD}{DE}=\frac{AD}{CD}$，
即$\frac{6}{AD}=\frac{3}{4}$，
解得：AD=8，
∴DE=AD-AE=5，
∴$\frac{CD}{5}=\frac{8}{CD}$，
解得：CD=2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理；熟練掌握圓周角定理，證明三角形相似是解決問題的關鍵．