Question

8．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x²-2mx+m²+m的頂點為C．
（1）求點C的坐標（用含m的代數式表示）
（2）直線y=x+2與拋物線交于A、B兩點，點A在拋物線的對稱軸左側．
①若P為直線OC上一動點，求△APB的面積；
②在線段AB上找一點P，連接CP，點Q從點C出發沿線段CP以每秒1個長度單位前進，然后沿線段PB以每秒$\sqrt{2}$個長度單位前進到點B，從點C出發到點B最少用時4秒，最少用時的總行程為2$\sqrt{2}$+2個長度單位．

Answer 1

分析 （1）把函數解析式整理成頂點式形式，然后寫出點C的坐標；
（2）①聯立直線與拋物線求出交點A、B的坐標，然后求出AB的長，再根據AB∥OC求出兩平行線間的距離，最后根據三角形的面積公式列式計算即可得解；
②PB用時為t₁=$\frac{PB}{\sqrt{2}}$=BM=PM，PC用時為：t=PC，得到t_總=PM+PC=y_B-y_C=（m+4）-m=4s，S_總=2$\sqrt{2}$+2．

解答 解：（1）∵y=x²-2mx+m²+m=（x-m）²+m，
∴頂點坐標為C（m，m）；
（2）①∵y=x+2與拋物線y=x²-2mx+m²+m交于A、B兩點，
∴聯立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=m-1}\\{y=m+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=m+2}\\{y=m+4}\end{array}\right.$，
∵點A在點B的左側，
∴A（m-1，m+1），B（m+2，m+4），
∴AB=$\sqrt{（m-1-m-2）^{2}+（m+1-m-4）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵直線OC的解析式為y=x，直線AB的解析式為y=x+2，
∴AB∥OC，兩直線AB、OC之間距離h=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•h=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=3；
②PB用時為t₁=$\frac{PB}{\sqrt{2}}$=BM=PM，
PC用時為：t=PC，
t_總=PM+PC=y_B-y_C=（m+4）-m=4s，
此時x_p=x_c=m，y_p=m+2，
∴PB=2$\sqrt{2}$，PC=2，
∴S_總=2$\sqrt{2}$+2，
即從點C出發到點B最少用時4秒，最少用時的總行程為2$\sqrt{2}$+2個長度單位．
故答案為：4，2$\sqrt{2}$+2．

點評 本題考查了二次函數的性質，一次函數圖象上點的坐標特征，兩點間的距離，三角形面積的計算，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．