Question

8．如圖，拋物線y=ax²+ax-6a與x軸交于A、B兩點（B在A右側），與y軸交于點C．
（1）求A、B兩點坐標；
（2）若AD平分∠CAB，交CB于D，且AD⊥CB，求拋物線及直線AD的解析式；
（3）若點G、C關于x軸對稱，直線GB交（2）中直線AD于點K，M、N分別為直線AC和直線AK上的兩個動點，連接CN、NM、MK，求CN+NM+MK的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用x軸上點的坐標特征直接確定出點A，B坐標；
（2）先判斷出AC=AB=4，進而求出點C的坐標，用待定系數法求出拋物線和直線AD的解析式；
（3）先確定出CN+NM+MK的最小值時，點M，N的位置，再確定出直線交點坐標K，最后利用中點坐標公式確定出點Q坐標，即可求出BQ．

解答 解：（1）∵y=ax²+ax-6a=a（x²+x-6）=a（x+3）（x-2）=0，
∴x=-3或x=2，
∵B在A右側，
∴A（-3，0），B（2，0）；

（2）如圖1，由（1）知，A（-3，0），B（2，0），
∴AB=5，
∵AD平分∠CAB，交CB于D，且AD⊥CB，
∴AC=AB=5，
根據勾股定理得，OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=4，
∴C（0，4），
∵點C在拋物線y=ax²+ax-6a上，
∴-6a=4，
∴a=-$\frac{2}{3}$，
∴拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+4，
∵AC=AB，AD⊥CB，
∴BD=CD，
∴點D是BC中點，
∵B（2，0），C（0，4），
∴D（1，2），
∵A（-3，0），
∴直線AD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$；

（3）如圖2，作出點K關于直線AC的對稱點Q，連接QB交AC于M，AK于N，
∴MQ=MK，
∵AD垂直平分BC，
∴CN=BN，
∴CN+NM+MK=BN+MN+QM，
∴點Q，M，N，B在同一條直線上時，CN+NM+MK最小，最小值為BQ，∵點G、C（0，4）關于x軸對稱，
∴G（0，-4），
∵B（0，2），
∴直線BG的解析式為y=2x-4①，
由（2）知，直線AD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$②，
聯立①②得，
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{11}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴K（$\frac{11}{3}$，$\frac{10}{3}$），
∵A（-3，0），C（0，4），
∴直線AC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4③，
∵QK⊥AC，∴直線QK的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{73}{12}$④，
聯立③④解得，P（1，$\frac{16}{3}$），
∵點P是QK的中點，
∴Q（-$\frac{5}{3}$，2），
∵B（2，0），
∴BQ=$\sqrt{（2+\frac{5}{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$．
即：CN+NM+MK的最小值為$\frac{2\sqrt{39}}{3}$．

點評 此題二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，勾股定理，等腰三角形的性質和判定，直線的交點坐標，解（2）的關鍵是確定出點C的坐標，解（3）的關鍵是確定出點Q的坐標，是一道中等難度的中考常考題．