Question

16．先閱讀下列材料，再解答后面的問題．
求1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰⁰的和．
解：設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰⁰．①
將①式兩邊同時乘以2，得：
2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2¹⁰¹．　　 ②
②-①，得
2S-S=2¹⁰¹-1．
即           S=2¹⁰¹-1
所以1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1
問題解答：
（1）猜想1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁶的和，并寫出計算過程；
（2）求1+3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ的和（其中n為正整數）；
（3）記S_n=1+3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ（其中n為正整數），試說明：$\sqrt{\frac{8{S}_{2n}+1}{9}}$=$\frac{8{S}_{n}+1}{9}$．

Answer 1

分析 （1）根據題意可以求得題目中所求式子的值；
（2）根據題目中的信息，對所求式子變形即可解答本題；
（3）根據（2）中的結果分別化簡所要證明的式子即可解答本題．

解答 解：（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1．
設S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶①
將①式兩邊同時乘以2，得：
2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹⁷②
②-①，得2S-S=2²⁰¹⁷-1．即 S=2²⁰¹⁷-1，
所以1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1；

（2）設S=1+3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ①
將①式兩邊同時乘以3²，得：9S=3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ⁺²②
②-①，得9S-S=3²ⁿ⁺²-1．即S=$\frac{{3}^{2n+2}-1}{8}$；
（3）由（2）可得，S_n=$\frac{{3}^{2n+2}-1}{8}$，S_2n=$\frac{{3}^{4n+2}-1}{8}$，
∴$\sqrt{\frac{8{S}_{2n}+1}{9}}=\sqrt{\frac{8×\frac{{3}^{4n+2}-1}{8}+1}{9}}$=$\sqrt{\frac{{3}^{4n+2}}{9}}$=$\frac{{3}^{2n+1}}{3}$，
$\frac{8{S}_{n}+1}{9}=\frac{8×\frac{{3}^{2n+2}-1}{8}+1}{9}=\frac{{3}^{2n+2}}{9}$=$\frac{{3}^{2n+1}}{3}$，
∴$\sqrt{\frac{8{S}_{2n}+1}{9}}$=$\frac{8{S}_{n}+1}{9}$．

點評 本題考查實數的運算，解題的關鍵是明確題意，找出數字的變化特點，明確實數運算的方法．