Question

11．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC的垂直平分線分別交CD，AB于點F和E，AB=4，BC=$\sqrt{3}$，AC=3$\sqrt{3}$，求EF的長．

Answer 1

分析 過C作CG∥FE交AB的延長線于G、作CH⊥BG交BG于H．構建直角△AHC、直角△BCH，相似三角形△ACH∽△AGC，以及平行四邊形EFCG．利用勾股定理和相似三角形的對應邊成比例可以求得CG的長度，則平行四邊形EFCG的對邊相等：EF=CG．

解答 解：如圖，過C作CG∥FE交AB的延長線于G、作CH⊥BG交BG于H．
由勾股定理得到：CH²=AC²-（AB+BH）²=BC²-BH²，
∵AB=4，BC=$\sqrt{3}$，AC=3 $\sqrt{3}$，
∴（3 $\sqrt{3}$）²-（4+BH）²=（ $\sqrt{3}$）²-BH²，
解得∴BH=1．
∴AH=AB+BH=4+1=5．
∴CH=$\sqrt{A{C}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∵CG∥FE、AC⊥FE，
∴CG⊥AC．
∵∠CAH=∠GAC，∠AHC=∠ACG=90°，
∴△ACH∽△AGC，
∴CH：CG=AH：AC，
∴CG=$\frac{CH•AC}{AH}$$\frac{\sqrt{2}×3\sqrt{3}}{5}$=$\frac{3\sqrt{6}}{5}$．
∵四邊形ABCD平行四邊形，
∴FC∥EG．
又CG∥FE，
∴四邊形EFCG是平行四邊形，
∴EF=CG=$\frac{3\sqrt{6}}{5}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質．解題時利用了勾股定理、相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的判定與性質，綜合性比較強，難度較大．