Question

6．在銳角△ABC中，AB=5，AC=4$\sqrt{2}$，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當點C₁在線段CA的延長線上時，
①求∠CC₁A₁的度數；
②求四邊形A₁BCC₁的面積；
（2）如圖2，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉所得到的△A₁BC₁中，點P的對應點是點P₁，求線段EP₁長度的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）①利用旋轉的性質分別求出∠BC₁C，∠A₁C₁B的度數即可．
②過點A作AG⊥BC于G，首先求出BC，根據四邊形A₁BCC₁的面積=△C C₁B的面積+△A₁C₁B的面積計算即可．
（2）如圖2中，過點B作BD⊥AC，D為垂足，①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，點P的對應點P₁在線段AB上時，EP₁最小．
②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大．分別計算即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖1中，
∵由旋轉的性質可得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠C C₁B=∠C₁CB=45°，
∴∠C C₁A₁=∠C C₁B+∠A₁ C₁B=45°+45°=90°．

②解：過點A作AG⊥BC于G，
∵∠ACB=45°
∴∠GAC=45°，
∴AG=CG，
∴在Rt△AGC中，AG=CG=$\frac{4\sqrt{2}}{sin∠C}$=4
∴在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG=3
∴BC=BG+CG=4+3=7；
∴四邊形A₁BCC₁的面積=△C C₁B的面積+△A₁C₁B的面積
=$\frac{1}{2}$×7×7+$\frac{1}{2}$×7×4=$\frac{77}{2}$；

（2）如圖2中，過點B作BD⊥AC，D為垂足，
∵△ABC為銳角三角形，
∴點D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
①當P在AC上運動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉，點P的對應點P₁在線段AB上時
EP₁最小，最小值為 $\frac{7\sqrt{2}}{2}$-$\frac{5}{2}$．
②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，
EP₁最大，最大值為 $\frac{5}{2}$+7=$\frac{19}{2}$．

點評 本題考查時間最綜合題、旋轉變換旋轉、銳角三角函數的定義、相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會取特殊點解決最值問題，屬于中考壓軸題．