Question

19．閱讀下面的材料
已知三次方程x³+px²+qx+m=0有整數解t，其中p，q，m為整數．
將t代入方程有：t³+pt²+qt+m=0，移項并整理得：m=t×（-t²-pt-q），由于-t²-pt-q與m及t都是整數，所以m是t的倍數．
根據上面回答下列問題
（1）根據上面的推理過程，說明了系數為整數的三次方程x³+px²+qx+m=0的整數解只可能是m的因數（用文字描述）
（2）方程x³-2x²-4x+3=0是否有整數解？若有，請求出其整數解；若沒有，請說明理由．
（3）解關于x的方程x³+4x²+3x-2=0．

Answer 1

分析 （1）認真學習題目給出的材料，掌握“整數系數方程x³+px²+qx+m=0的整數解只可能是m的因數”，再作答．
（2）根據分析（1）得出3的因數后再代入檢驗可得出答案．
（3）先變形為-x³-4x²-3x+2=0，根據分析（1）得出2的因數后再代入檢驗可得出答案．

解答 解：（1）由閱讀理解可知：系數為整數的三次方程x³+px²+qx+m=0的整數解只可能是m的因數．
（2）該方程有整數解．
方程的整數解只可能是3的因數，即1，-1，3，-3，
將它們分別代入方程x³-2x²-4x+3=0進行驗證得：x=3是該方程的整數解．
（3）x³+4x²+3x-2=0，
-x³-4x²-3x+2=0，
方程的整數解只可能是2的因數，即1，-1，2，-2，
將它們分別代入方程x³+4x²+3x-2=0，進行驗證得：x=-2是該方程的整數解．
故答案為：m的因數．

點評 本題考查非一次不定方程（組），同學們的閱讀能力以及自主學習、自我探究的能力，該類型的題是近幾年的熱點考題．認真學習題目給出的材料，掌握“整數系數方程x³+px²+qx+m=0的整數解只可能是m的因數”是解答問題的基礎．