Question

9．在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，M是邊AB的中點，CH⊥AB于點H，CD平分∠ACB．
（1）求證：CD平分∠MCH；
（2）過點M作AB的垂線交CD的延長線于點E，求證：CM=EM；
（3）△AEM是什么三角形？證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AM=CM=BM，由等腰三角形到性質(zhì)得到∠CAB=∠ACM，由余角的性質(zhì)得到∠CAB=∠BCH，等量代換得到∠BCH=∠ACM，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠ACD=∠BCD，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)EM⊥AB，CH⊥AB，得到EM∥AB，由平行線的性質(zhì)得到∠HCD=∠MED，由于∠HCD=∠MCD，于是得到∠MCD=∠MED，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù) CM=EM AM=CM=BM，于是得到EM=AM=BM，推出△AEB是直角三角形，由于 EM垂直平分AB，得到EA=EB于是得到結(jié)論．

解答 證明：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵M是AB邊的中點，
∴AM=CM=BM，
∴∠CAB=∠ACM，
∴∠CAB=90-∠ABC，
∵CH⊥AB，
∴∠BCH=90-∠ABC，
∴∠CAB=∠BCH，
∴∠BCH=∠ACM，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD-∠ACM=∠BCD-∠BCH，
即∠MCD=∠HCD，
∴CD平分∠MCH；

（2）∵EM⊥AB，CH⊥AB，
∴EM∥CH，
∴∠HCD=∠MED，
∵∠HCD=∠MCD，
∴∠MCD=∠MED，
∴CM=EM；

（3）△AEB是等腰直角三角形，
∵CM=EM AM=CM=BM，
∴EM=AM=BM，
∴△AEB是直角三角形，
∵EM垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴△AEB是等腰三角形，
∴△AEB是等腰直角三角形．

點評 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．