Question

18．一個三位自然數m．將它任意兩個數位上的數字對調后得一個首位不為0的新三位自然數m'（m'可以與m相同），記m'=$\overline{abc}$，在m’所有的可能情況中，當|a+2b-c|最小時，我們稱此時的m’是m的“幸福美滿數”，并規定K（m）=a²+2b²-c²．例如：318按上述方法可得新數有：381、813、138；因為|3+2×1-8|=3，|3+2×8-1|=18，|8+2×1-3|=7，|1+2×3-8|=1，1＜3＜7＜18．所以138是318的“幸福美滿數”．K（318）=1²+2×3²-8²=-45．
（1）若三位自然數t的百位上的數字與十位上的數字都為n（1≤n≤9．n為自然數），個位上的數字為0，求證：K（t）=0；
（2）設三位自然數s=100+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y為自然數），且x＜y，交換其個位與十位上的數字得到新數s'，若19s+8s'=3888，那么我們稱s為“夢想成真數”，求所有“夢想成真數”中K（s）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據案例找出t變化后得到的新數，驗證后即可得出$\overline{n0n}$是t的“幸福美滿數”．進而即可得出K（t）=n²-2×0²-n²=0．
（2）根據題意找出s、s′，結合19s+8s'=3888即可得出2x+y=12，根據“1≤x≤9，1≤y≤9，x＜y”即可得出x、y的可能值，進而可找出s的“幸福美滿數”和K（s）的值，取其最大值即可．

解答 （1）證明：$\overline{nn0}$按上述方法可得新數$\overline{n0n}$，
∵|n+2n-0|=3n，|n+2×0-n|=0，0＜3n，
∴$\overline{n0n}$是t的“幸福美滿數”．
∴K（t）=n²-2×0²-n²=0．

（2）解：根據題意得：s=$\overline{1xy}$，s′=$\overline{1yx}$，
∵19s+8s'=3888，
∴19×（100+10x+y）+8×（100+10y+x）=3888，即2x+y=12．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，x＜y，
∴x=2，y=8；x=3，y=6．
∴s=128或s=136．
∵128是128的“幸福美滿數”，136和316是136的“幸福美滿數”，
∴K（s）=-55、-17或-25．
∴所有“夢想成真數”中K（s）的最大值為-17．

點評 本題考查了因式分解的應用以及解二元一次方程，解題的關鍵是：（1）結合案例找出t的“幸福美滿數”；（2）結合案列找出s的“幸福美滿數”．