Question

1．如圖，在△ABC中，已知CA=CB=5，BA=6，點E是線段AB上的動點（不與端點重合），點F是線段AC上的動點，連接CE、EF，若在點E、點F的運動過程中，始終保證∠CEF=∠B．
（1）求證：∠AEF=∠BCE；
（2）當以點C為圓心，以CF為半徑的圓與AB相切時，求BE的長；
（3）探究：在點E、F的運動過程中，△CEF可能為等腰三角形嗎？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的外角的性質即可得到結論；
（2）設⊙C與BA切于點M，則CM=CF，CM⊥BA，根據垂徑定理得到BM=AM=$\frac{AB}{2}$=3，根據勾股定理得到CF=CM=4，根據相似三角形的性質得到$\frac{EA}{BC}=\frac{AF}{BE}$，設BE長為x，則EA長為6-x即可得到結論；
（3）①當CE=CF時推出EF∥AB，此時E與B重合，與條件矛盾，不成立．②當CF=EF時，根據全等三角形的性質得到BE=AB-5=1，③當CF=EF時，根據相似三角形的性質即可得到結論．

解答 （1）證明：∵∠B+∠BCE=∠CEA=∠CEF+∠FEA，
∵∠CEF=∠B，
∴∠AEF=∠BCE；

（2）解：如圖1，設⊙C與BA切于點M，則CM=CF，CM⊥BA，
∵CA=CB，CM⊥BA∴BM=AM=$\frac{AB}{2}$=3，
Rt△AMC中，AC=5，AM=3，
∴CF=CM=4，
∴AF=1，
∵CA=CB∴∠B=∠C
由（1）知∠AEF=∠BCE
∴△AEF∽△BCE，
∴$\frac{EA}{BC}=\frac{AF}{BE}$，
設BE長為x，則EA長為6-x
∴$\frac{6-x}{5}=\frac{1}{x}$，
解得：x₁=1，x₂=5，
答：BE的長為1或5；
（3）可能．如圖2，
①當CE=CF時，∠3=∠2=∠A，
∴EF∥AB，此時E與B重合，與條件矛盾，不成立．
②當CE=EF時，
又∵△AEF∽△BCE，
∴△AEF≌△BCE，
∴AE=BC=5，
∴BE=AB-5=1，
③當CF=EF時，∠1=∠2=∠A=∠B，
△FCE∽△CBA，
∴$\frac{EF}{AC}=\frac{CE}{AB}$，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{5}{6}$，
∵△AEF∽△BCE
∴$\frac{EA}{BC}$=$\frac{EF}{CE}$=$\frac{5}{6}$
∴EA=$\frac{5}{6}$BC=$\frac{5}{6}$×5=$\frac{25}{6}$，
∴EB=AB-$\frac{25}{6}$=$\frac{11}{6}$．
答：當BE的長為1或$\frac{11}{6}$時，△CFE為等腰三角形．

點評 此題考查相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，直線與圓的位置關系．解答（3）題時，一定要分類討論，以防漏解．