Question

16．如圖．在?ABCD中，點E、F分別在DC、AB上，DE=BF，直線EF分別與AD、CB的延長線相交于點G、H．求證：AC、GH互相平分．

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質得出AD∥BC，AD=BC，∠ADC=∠ABC，證出∠G=∠H，∠GDE=∠HBF，由AAS證明△DEG≌△BFH，得出DG=BH，證出AG=CH，得出四邊形AGCH是平行四邊形，即可得出結論．

解答 證明：連接AH、CG，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=∠ABC，
∴∠G=∠H，∠GDE=∠HBF，
在△DEG和△BFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠H}&{\;}\\{∠GDE=∠HBF}&{\;}\\{DE=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DEG≌△BFH（AAS），
∴DG=BH，
∴AG=CH，
又∵AG∥CH，
∴四邊形AGCH是平行四邊形，
∴AC、GH互相平分．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，證題的關鍵是通過證明三角形△DEG≌BFH得到DG=BH．