Question

2．如圖，O為矩形ABCD對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD．
（1）若AB=6，BC=8，求四邊形OCED的面積．
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面積為18$\sqrt{3}$，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據矩形的性質，易得OC=OD，即可判定四邊形CODE是菱形，由矩形的性質可知四邊形OCED的面積為矩形ABCD面積的一半，問題得解．
（2）根據矩形的面積是菱形的面積的兩倍，設AC=x，求出AB、BC，列出方程即可解決問題．

解答 （1）解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四邊形CODE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC，
∴四邊形CODE是菱形；
∵AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面積=6×8=48，
∵S_△ODC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=12，
∴四邊形OCED的面積=2S_△ODC=24．

（2）由（1）可知，S_矩形ABCD=2S_菱形ODEC=36$\sqrt{3}$，設AC=x，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$x，BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=36$\sqrt{3}$，
∴x²=144，
∵x＞0，
∴x=12，
∴AC=12．

點評 本題考查矩形的性質、菱形的判定和性質、直角三角形30度角性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．