Question

19．如圖，長方形OABC中，O為直角坐標系的原點，A、C兩點的坐標分別為（2，0）、（0，4）．
（1）直接寫出B點坐標；
（2）若過點C的直線CD交AB邊于點D，且把長方形OABC的面積分為1：3兩部分，求直線CD的解析式及直線CD與坐標軸所圍成的三角形的面積；
（3）若P點是y軸上一點，且△PAC為等腰三角形，請直接寫出所有P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質可知AB=OC，則可求得B點坐標；
（2）根據直線CD把矩形OABC的面積分為1：3兩部分，就可以求出D點的坐標，利用待定系數法就可以求出解析式，進一步容易求得與坐標軸所圍成的三角形的面積；
（3）可設P點坐標為（0，t），則可分別表示出CP、AP和AC的長，由等腰三角形的性質可得到關于t的方程，可求得P點坐標．

解答 解：
（1）∵A（2，0），C（0，4），
∴OA=2，OC=4，
∵四邊形OABC為長方形，
∴AB=OC=4，
∴B（2，4）；
（2）設AD=y，則BD=4-y，
∴S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•BC=$\frac{1}{2}$×2（4-y）=4-y，且S_{長方形OABC}=2×4=8，
∵直線CD把長方形OABC的面積分為1：3兩部分，
∴S_△BCD=$\frac{1}{4}$S_{長方形OABC}=2，
∴4-y=2，解得y=2，
∴D（2，2），
設直線CD解析式為y=kx+b，則可得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線CD解析式為y=-x+4，

設直線CD交x軸于點E，則E（4，0），
∴OE=4，
∴S_△OCE=$\frac{1}{2}$OC•OE=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
即直線CD與坐標軸圍成的三角形的面積為8；
（3）設P（0，t），
∵A（2，0），C（0，4），
∴AP=$\sqrt{{2}^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+4}$，CP=|t-4|，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△PAC為等腰三角形，
∴有AP=CP，AP=AC和CP=AC三種情況，
①當AP=CP時，即$\sqrt{{t}^{2}+4}$=|t-4|，解得t=$\frac{3}{2}$，此時P點坐標為（0，$\frac{3}{2}$）；
②當AP=AC時，即$\sqrt{{t}^{2}+4}$=2$\sqrt{5}$，解得t=4（與C點重合，舍去）或t=-4，此時P點坐標為（0，-4）；
③當CP=AC時，即|t-4|=2$\sqrt{5}$，解得t=4+2$\sqrt{5}$或t=4-2$\sqrt{5}$，此時P點坐標為（0，4+2$\sqrt{5}$）或（0，4-2$\sqrt{5}$）；
綜上可知P點坐標為（0，$\frac{3}{2}$）或（0，-4）或（0，4+2$\sqrt{5}$）或（0，4-2$\sqrt{5}$）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及待定系數法、矩形的性質、三角形的面積、等腰三角形的性質、勾股定理、方程思想及分類討論思想．在（2）中求得D點坐標是解題的關鍵，在（3）中用P點坐標表示出AP、CP的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．