Question

16．等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點A、點B分別是x軸、y軸上兩個動點，直角邊AC交x軸于點D，斜邊BC交y軸于點E；
（1）如圖1，若A（0，2），B（4，0），D（-1，0），過點C作AC的垂線交y軸于點F，求點F的坐標；
（2）如圖2，調整等腰直角△ABC位置，使點D恰為AC中點，連接DE，求證：∠ADB=∠CDE．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性質和角的互余關系證出∠CAF=∠ABD，由ASA證明△ACF≌△BAD，得出AF=BD，求出OF，即可得出結果；
（2）作CF⊥AC交y軸于F，先證明△ACF≌△BAD，得到AD=CF，∠AFC=∠ADB，再證明△CDE≌△CFE，得到∠CDE=∠CFE，即可得出結論．

解答 （1）解：∵A（0，2），B（4，0），D（-1，0），
∴OA=1，OB=4，OD=1，
∵∠BAC=90°，∠AOB=90°，
∴∠CAF+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABD=90°，
∴∠CAF=∠ABD，
∵CF⊥AC，
∴∠ACF=90°=∠BAD，
在△ACF和△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠ABD}&{\;}\\{AC=BA}&{\;}\\{∠ACF=∠BAD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BAD（ASA），
∴AF=BD=OD+OB=1+4=5，
∴OF=AF-OA=5-2=3，
∴點F的坐標為（0，-3）；
（2）證明：作CF⊥AC交y軸于F，如圖所示：
由（1）可得∠CAF=∠ABD，
在△ACF和△BAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠ABD}&{\;}\\{AC=BA}&{\;}\\{∠ACF=∠BAD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BAD（ASA），
∴AD=CF，∠AFC=∠ADB，
∵點D為AC中點，
∴AD=CD，
∴CD=CF，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCE=45°，
在△CDE和△CFFE中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=CF}&{\;}\\{∠DCE=∠FCE}&{\;}\\{CE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CFE（SAS），
∴∠CDE=∠AFC，
∴∠ADB=∠CDE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、坐標與圖形性質、直角三角形的性質；熟練掌握等腰直角三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．