Question

4．已知拋物線y=-x²+bx+3與y軸交于點C，與x軸交于點A，直線AC的解析式為y=-x+n．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為第一象限內拋物線上一點，過點P作CD的平行線交AC于點E，設點P的橫坐標為m，點E的橫
坐標為t，求t與m的函數關系式（并直接寫出自變量m的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，當△PCE是以CP為腰的等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入拋物線的解析式得y=3，從而得到C（0，3），將點C的坐標代入y=-x+n得到：n=3，于是可求得y=-x+3，令y=0得到-x+3=0，解得x=3，故此可知A（3，0），將點A的坐標代入拋物線的解析式求得b=2，可得到拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）如圖1所示：令y=0可求得點D的坐標為（-1，0），依據待定系數法可求得直線DC的解析式為y=3x+3，由PE∥DC可知直線PE的一次項系數為3，設直線PE的解析式為y=3x+b₁．由E在AC上可知點E的坐標為（t，-t+3），將點E的坐標代入y=3x+b₁可求得：b₁=3-4t，于是可求得直線PE的解析式為y=3x+3-4t，將x=m代入直線的解析式得：y=3m+3-4t，將x=m代入拋物線的解析式得：y=-m²+2m+3．于是可得到-m²+2m+3=3m+3-4t，從而可得到t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$；
（3）如圖2所示：點E的坐標為（t，-t+3），點P的坐標為（m，3m+3-4t）．①當PC=PE時．由兩點間的距離公式可知m²+（3m-4t）²=（m-t）²+（3m-3t）²．整理得：m=$\frac{3}{2}$5t．將m=$\frac{3}{2}$t代入t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$可求得t=$\frac{10}{9}$；②當PC=EC時．由兩點間的距離公式可知：m²+（3m-4t）²=t²+（-t+3-3）²．從而可求得m=$\frac{7}{5}t$，將m=$\frac{7}{5}t$代入t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$可求得t=$\frac{65}{49}$．

解答 解：（1）∵y=-x²+bx+3與y軸交于點C，
∴點C的坐標為（0，3）．
∵將點C的坐標代入y=-x+n得到：n=3，
∴直線AC的解析式為y=-x+3．
∵將y=0代入得：-x+3=0，解得x=3，
∴點A的坐標為（3，0）．
將點A的坐標代入拋物線的解析式得：-9+3b+3=0．
解得：b=2．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）如圖1所示：

∵令y=0得：-x²+2x+3=0．解得：x₁=-1，x₂=3，
∴點D的坐標為（-1，0）．
設直線DC的解析式為y=kx+b，將點D、C的解析式代入$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直線DC的解析式為y=3x+3．
∵PE∥DC，
∴直線PE的一次項系數為3．
∵點E的橫坐標為t，點E在直線AC上，
∴點E的縱坐標為-t+3．
∴點E的坐標為（t，-t+3）
設直線PE的解析式為y=3x+b₁．將點E的坐標代入直線的解析式得：3t+b₁=-t+3．
解得：b₁=3-4t．
∴直線PE的解析式為y=3x+3-4t．
將x=m代入直線的解析式得：y=3m+3-4t，將x=m代入拋物線的解析式得：y=-m²+2m+3．
∴-m²+2m+3=3m+3-4t．
整理得：t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$（0＜m＜3）．
（3）如圖2所示：
①當PC=PE時．

由（2）可知點E的坐標為（t，-t+3），點P的坐標為（m，3m+3-4t）．
∵PC=PE，
∴m²+（3m-4t）²=（m-t）²+（3m-3t）²．整理得：m=$\frac{3}{2}$5t．
將m=$\frac{3}{2}$t代入t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$得；t=$\frac{1}{4}×（\frac{3}{2}t）^{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{3}{2}t$，整理得：$\frac{9}{16}{t}^{2}-\frac{5}{8}t=0$．
解得：t₁=$\frac{10}{9}$，t₂=0（舍去）．
②當PC=EC時．
由兩點間的距離公式可知：m²+（3m-4t）²=t²+（-t+3-3）²．整理得：5m²-12mt+7t²=0．
∴（m-t）（5m-7t）=0．
∵m≠t，
∴5m=7t，即m=$\frac{7}{5}t$
將m=$\frac{7}{5}t$代入t=$\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{4}m$得；t=$\frac{1}{4}×（\frac{7}{5}t）^{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{7}{5}t$，整理得：$\frac{49}{100}{t}^{2}-\frac{13}{20}t$=0．
解得：t₁=$\frac{65}{49}$，t₂=0（舍去）．
綜上所述，t的值為$\frac{10}{9}$或$\frac{65}{49}$．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，、兩點間的距離公式，求得點E和點P的坐標，并利用兩點間的距離公式列出t與m的方程是解題的關鍵．