Question

9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經過點A、C、B的拋物線的一部分C₁與經過點A、D、B的拋物線的一部分C₂組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線成為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，-$\frac{3}{2}$），點M是拋物線C₂：y=mx²-2mx-3m（m＜0）的頂點．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）當△BDM為以∠M為直角的直角三角形時，求m的值．
（3）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將y=mx²-2mx-3m化為交點式，即可得到A、B兩點的坐標；
（2）先表示出DM²，BD²，MB²，再利用DM²+MB²=BD²，即可求得m的值；
（3）先用待定系數法得到拋物線C₁的解析式，過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，用待定系數法得到直線BC的解析式，再根據三角形的面積公式和配方法得到△PBC面積的最大值．

解答 解：（1）由題意可得：y=mx²-2mx-3m=m（x-3）（x+1），
∵m≠0，
∴當y=0時，0=m（x-3）（x+1），
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）如圖1，
∵y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m，
∴頂點M坐標（1，-4m），
當x=0時，y=-3m，
∴D（0，-3m），B（3，0），
∴DM²=（0-1）²+（-3m+4m）²=m²+1，
MB²=（3-1）²+（0+4m）²=16m²+4，
BD²=（3-0）²+（0+3m）²=9m²+9，
當△BDM為Rt△，∠M為直角的直角三角形時，有：DM²+MB²=BD²．
DM²+MB²=BD²時有：m²+1+16m²+4=9m²+9，
解得m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去）．
故m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，△BDM為以∠M為直角的直角三角形；

（3）設C₁：y=ax²+bx+c，將A、B、C三點的坐標代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
故C₁：y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$．
如圖2：過點P作PQ∥y軸，交BC于Q，
由B、C的坐標可得直線BC的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
設P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$），則Q（x，$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$），
PQ=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
S_△PBC=S_△PCQ+S_△PBQ=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x）×3=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{16}$，
當x=$\frac{3}{2}$時，S_△PBC有最大值，Smax=$\frac{27}{16}$，
則$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$）²-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=-$\frac{15}{8}$，
故P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{8}$）．

點評 此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：拋物線的交點式，待定系數法求拋物線的解析式、三角形的面積公式、配方法的應用、勾股定理等知識，正確利用勾股定理是解題關鍵．