Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒$\sqrt{2}$個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OD方向移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，求出此時(shí)t的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQB為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）求出OD的長(zhǎng)，根據(jù)時(shí)間=$\frac{路程}{速度}$，計(jì)算即可．
（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，分兩種情形分別列出方程，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOQ=45°，
∴AO=OD=2，DO=2$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2．

（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，
如圖1，作PG⊥OC于點(diǎn)G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°，
∵OP=$\sqrt{2}$t，
∴OG=PG=t，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t），
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根據(jù)勾股定理：PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²，
①若∠PQB=90°，則有PB²=PQ²+BQ²，
即：（6-t）²+（2-t）²=（6-2t）²+2t，
解得：t=2或0（舍去），
∴t=2．
②若∠PBQ=90°，則有PQ²=PB²+BQ²，
∴（6-t）²+（2-t）²+（6-2t）²=2t²，
解得：t=5±$\sqrt{5}$．
∴t=2或5±$\sqrt{5}$時(shí)，△pqb為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．