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4.如圖,已知圓O,弦AB、CD相交于點M.
(1)求證:AM•MB=CM•MD;
(2)若M為CD中點,且圓O的半徑為3,OM=2,求AM•MB的值.

分析 (1)連接AD、BC,利用同弧所對的圓周角相等,證明△ADM∽△CBM;
(2)連接OM、OC,由于M是CD的中點,由垂徑定理得OM⊥CD,利用勾股定理可求出CM的值,根據(1)的結論,求出AM•BM.

解答 解:(1)連接AD、BC.
∵∠A=∠C,∠D=∠B,
∴△ADM∽△CBM
∴$\frac{AM}{CM}=\frac{DM}{BM}$
即AM•MB=CM•MD.
(2)連接OM、OC.
∵M為CD中點,
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中,∵OC=3,OM=2
∴CD=CM=$\sqrt{O{C}^{2}-O{M}^{2}}$
=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$
=$\sqrt{5}$
由(1)知AM•MB=CM•MD.
∴AM•MB=$\sqrt{5}$•$\sqrt{5}$
=5.

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、圓周角定理及垂徑定理,是綜合性較強的題目.(1)利用相似、圓周角定理得到相交弦定理;(2)中利用垂徑定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM與BM的積.相交弦定理:圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等

練習冊系列答案
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步驟2:以B為圓心,BA為半徑畫弧②,交弧①于點D;
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