Question

4．如圖，已知圓O，弦AB、CD相交于點M．
（1）求證：AM•MB=CM•MD；
（2）若M為CD中點，且圓O的半徑為3，OM=2，求AM•MB的值．

Answer 1

分析 （1）連接AD、BC，利用同弧所對的圓周角相等，證明△ADM∽△CBM；
（2）連接OM、OC，由于M是CD的中點，由垂徑定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根據（1）的結論，求出AM•BM．

解答 解：（1）連接AD、BC．
∵∠A=∠C，∠D=∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴$\frac{AM}{CM}=\frac{DM}{BM}$
即AM•MB=CM•MD．
（2）連接OM、OC．
∵M為CD中點，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，∵OC=3，OM=2
∴CD=CM=$\sqrt{O{C}^{2}-O{M}^{2}}$
=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$
=$\sqrt{5}$
由（1）知AM•MB=CM•MD．
∴AM•MB=$\sqrt{5}$•$\sqrt{5}$
=5．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、圓周角定理及垂徑定理，是綜合性較強的題目．（1）利用相似、圓周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂徑定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM與BM的積．相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等