Question

4．數軸上A點表示的數為a，B點表示的數為b，且a、b滿足|a+3|+|b+3a|=0
（1）求a、b的值
（2）點P從A點以3個單位/秒向右運動，點Q同時從B點以2個單位/秒向左運動．若|PA|+|PB|=2|PQ|，求運動時間t
（3）在數軸上，點C、點T、點D分別表示的數是-8、10、11，點A、點C均以2個單位/秒速度同時向右運動．在運動的過程中，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|是否存在最小值？若存在，請寫出最小值，并求出最小值的運動時間t的值或取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由絕對值的非負性即可得出關于a、b的二元一次方程組，解之即可得出結論；
（2）找出運動時間為t秒時，點P、Q對應的數，利用兩點間的距離公式即可得出PQ、PQ、PB的長度，結合|PA|+|PB|=2|PQ|即可得出關于t的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論；
（3）假設存在，找出運動時間為t秒時，點A、C對應的數，根據兩點間的距離公式找出|TA|、|TC|、|TB|、|TD|的值，分t＜6.5、6.5≤t≤9和t＞9三種情況考慮|TA|+|TC|+|TB|+|TD|的值，此題得解．

解答 解：（1）∵|a+3|+|b+3a|=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+3=0}\\{b+3a=0}\end{array}\right.$，
∴a=-3，b=9．
（2）當運動的時間為t秒時，P所對應的數為-3+3t，Q所對應的數為9-2t，
∴PQ=|-3+3t-（9-2t）|=|5t-12|，PA=3t，PB=|-3+3t-9|=|3t-12|．
∵|PA|+|PB|=2|PQ|，
∴3t+|3t-12|=2|5t-12|，
解得：t=1.2或t=3.6或t=3（舍去）．
∴若|PA|+|PB|=2|PQ|，運動時間t為1.2秒或3.6秒．
（3）假設存在，當運動時間為t秒時，點A對應的數為2t-3，點C對應的數為2t-8，
∵點B對應的是為9，點T對應的數為10，點D對應的數為11，
∴|TA|=|2t-3-10|=|2t-13|，|TC|=|2t-8-10|=|2t-18|，|TB|=|10-9|=1，|TD|=|10-11|=1，
∴|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=|2t-13|+|2t-18|+2．
當2t-13＜0，即t＜6.5時，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=13-2t+18-2t+2=33-4t＞33-26=7；
當0≤2t-13，2t-18≤0，即6.5≤t≤9時，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=2t-13+18-2t+2=7；
當2t-18＞0，即t＞9時，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|=2t-13+2t-18+2=4t-29＞36-29=7．
∴假設成立，
∴當6.5≤t≤9時，|TA|+|TC|+|TB|+|TD|取最小值7．

點評 本題考查了一元一次方程的應用、數軸、解二元一次方程組以及絕對值的非負性，解題的關鍵是：（1）根據絕對值的非負性找出關于a、b的二元一次方程組；（2）利用兩點間的距離公式結合|PA|+|PB|=2|PQ|列出關于t的含絕對值符號的一元一次方程；（3）分t＜6.5、6.5≤t≤9和t＞9三種情況考慮．