Question

19．如圖，已知AB=AE=$\sqrt{3}$，BC=DE=1，∠B=∠E=90°，∠A=120°，五邊形ABCDE的面積是（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 8
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連接AC、AD，作AM⊥CD于M，由SSS證明△ABC′≌△AED，得出AC=AD，∠BAC=∠EAD，由勾股定理得出AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2=2BC，求出∠EAD=∠BAC=30°，∠CAD=60°，證出△ACD是等邊三角形，得出CD=AC=2，AM=$\sqrt{3}$，五邊形ABCDE的面積=△ABC的面積+△AED的面積+△ACD的面積，即可得出結果．

解答 解：連接AC、AD，作AM⊥CD于M，如圖所示：
在△ABC和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}&{\;}\\{∠B=∠E}&{\;}\\{BC=ED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，∠BAC=∠EAD，
∵AB=$\sqrt{3}$，BC=1，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2=2BC，
∴∠EAD=∠BAC=30°，
∵∠BAE=120°，
∴∠CAD=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴CD=AC=2，CM=1，
∴AM=$\sqrt{3}$，
∴五邊形ABCDE的面積=△ABC的面積+△AED的面積+△ACD的面積=2×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
故選：B．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質以及三角形面積的計算；熟練掌握等邊三角形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．