分析 (1)BE=CD,根據等邊三角形的性質證明△ABE≌△ADC,可以得出;
(2)如圖1,利用勾股定理求出DC=5,再利用(1)中CD=BE,得出結論;
(3)線段BE長的最大值就是線段CD的最大值,當D、B、C在同一直線上時,DC最大為7,由此得出結論:BE的最大值為也是7.
解答 解:(1)BE=CD,理由是:
∵△ABD和△ACE都是等邊三角形,
∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠CAE=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴CD=BE;
(2)如圖1,∵∠ABC=30°,∠ABD=60°,
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=60°+30°=90°,
∵△ABD是等邊三角形,
∴BD=AB=3,
在Rt△DBC中,∵BC=4,
∴DC=$\sqrt{B{C}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5,
∴BE=DC=5;
(3)在△BDC中,DC<BC+BD,
∴DC<3+4=7,
∴當D、B、C在同一直線上時,DC最大為7,
∵BE=DC,
∴BE的最大值為也是7.
點評 本題考查了等邊三角形、全等三角形的性質和判定,全題都是圍繞一個問題:BE=CD進行證明,而BE=CD是由△ABE≌△ADC得出,屬于常考題型;對于第三問的最值問題,利用了三角形的三邊關系得出結論.
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