Question

2．已知二次函數y=mx²-（m+2）x+2（m≠0）．
（1）求證：此二次函數的圖象與x軸總有交點；
（2）如果此二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標都是整數，求正整數m的值．

Answer 1

分析 （1）令y=0，使得二次函數變為一元二次方程，然后求出方程中△的值，即可證明結論；
（2）令y=0，使得二次函數變為一元二次方程，然后對方程分解因式，又因此二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標都是整數，從而可以求得符合要求的正整數m的值．

解答 解：（1）證明：∵二次函數y=mx²-（m+2）x+2（m≠0），
∴當y=0時，0=mx²-（m+2）x+2（m≠0），
△=[-（m+2）]²-4×m×2=m²+4m+4-8m=m²-4m+4=（m-2）²≥0
∴0=mx²-（m+2）x+2（m≠0）有兩個實數根，
即二次函數y=mx²-（m+2）x+2（m≠0）的圖象與x軸總有交點；
（2）∵二次函數y=mx²-（m+2）x+2（m≠0），
∴當y=0時，0=mx²-（m+2）x+2=（mx-2）（x-1），
∴${x}_{1}=\frac{2}{m}，{x}_{2}=1$，
又∵此二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標都是整數，
∴正整數m的值是：1或2，
即正整數m的值是1或2．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是建立二次函數與一元二次方程之間的關系，然后找出所求問題需要的條件．