Question

2．已知拋物線y=$\frac{1}{4}$x²的圖象與直線y=mx+4的圖象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．

（1）直接寫出拋物線、直線與y軸的交點坐標(biāo)；
（2）①當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時（圖1），求A、B兩點的坐標(biāo)，并證明：△AOB是直角三角形；
②當(dāng)m≠$\frac{3}{2}$時（圖2），試判斷△AOB的形狀，并說明理由；
（3）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0，求出y的值即可解決問題．
（2）①方法一可以用勾股定理的逆定理判斷．方法二利用相似三角形的性質(zhì)判斷，方法三利用直角三角形的判定定理判定．
②證明方法類似①
（3）根據(jù)S_△AOB=$\frac{1}{2}$×4×（|x₁|+|x₂|），構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）拋物線與y軸的交點坐標(biāo)（0，0），直線與y軸的交點坐標(biāo)（0，4）．

（2）①當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，直線為y=$\frac{3}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{4}{x^2}\\ y=\frac{3}{2}x+4\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=16}\end{array}\right.$，
得兩函數(shù)圖象的交點為A（-2，1），B（8，16），
分別作點A和點B到x軸的垂線段AM，BN，則M（-2，0），N（8，0）．

方法一：（勾股定理逆定理）
∵AB²=（8+2）²+16-1）²=325，AO²=5，BO²=320，
∴AO²+BO²=325=AB²，
∴△AOB是直角三角形．
方法二：（相似三角形）
∵AM•BN=OM•ON=16，
∴$\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，
∴Rt△OAM∽Rt△BON，
∴∠AOM=∠OBN，
∵∠BON+∠OBN=90°
∴∠AOM+BON=90°，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB是直角三角形．
方法三：（直角三角形判定）
設(shè)A、B的中點為C，則C（3，8.5）
∵OC=$\sqrt{{3}^{2}+8．{5}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{325}$=$\frac{1}{2}$AB，
∴△AOB是直角三角形．

②方法一：∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線$y=\frac{1}{4}{x^2}$與直線y=mx+4的交點，
所以（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程組$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{4}{x^2}\\ y=mx+4\end{array}\right.$的兩個解，
也就是說：x₁，x₂是方程$\frac{1}{4}$x²=mx+4的兩個實數(shù)解，
將該方程改寫為x²-4mx-16=0，則有x₁+x₂=4m，x₁x₂=-16，
由①的解題過程，我們可以得到：AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直線y=mx+4上，
∴y₁=mx₁+4，y₂=mx₂+4，則y₁-y₂=m（x₁-x₂），
∴AB²=（x₁-x₂）²+m²（x₁-x₂）²=（1+m²）（x₁-x₂）²，
∵x₁+x₂=4m，x₁x₂=-16，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16m²+64，
∴AB²=（1+m²）（16m²+64）=16（1+m²）（m²+4）；
同樣的，AO²=x₁²+y₁²=x₁²+（mx₁+4）²=（1+m²）x₁²+8mx₁+16，
BO²=（1+m²）x₂²+8mx₂+16，
AO²+BO²=[（1+m²）x₁²+8mx₁+16]+[（1+m²）x₂²+8mx₂+16]
=（1+m²）（x₁²+x₂²）+8m（x₁+x₂）+32，
而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16m²+32，
∴AO²+BO²=（1+m²）（16m²+32）+8m•4m+32=16（1+m²）（m²+2）+32（m²+1）=16（1+m²）[（m²+2）+2]=16（1+m²）（m²+4）則AO²+BO²=16（1+m²）（m²+4）=AB²，
∴△AOB是直角三角形．
方法二：x₁+x₂=4m，x₁x₂=-16
∵y₁y₂=（mx₁+4）（mx₂+4）=m²x₁x₂=4m（x₁+x₂）+16=m²（-16）+4m•4m+16=16，
∴-x₁x₂=y₁y₂=16，即AM•BN=OM•ON
∴$\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}$，
∴Rt△OAM∽Rt△BON，
∴∠AOM=∠OBN，
∵∠BON+∠OBN=90°
∴∠AOM+BON=90°，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB是直角三角形．

方法三：設(shè)A、B的中點為C，則C[$\frac{1}{2}$（x₁+x₂），$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）]，即C（2m，2m²+4），
$OC=\sqrt{{{（2m）}^2}+{{（2{m^2}+4）}^2}}=2\sqrt{（{m^2}+1）（{m^2}+4）}=\frac{1}{2}AB$，
∴△AOB是直角三角形；

（3）∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×4×（|x₁|+|x₂|）=2$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{16{m}^{2}+64}$，
∴當(dāng)m=0時，△AOB面積的最小值=16．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理以及勾股定理的逆定理、直角三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，掌握直角三角形的三種判定方法，學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．