Question

7．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．點D從C點出發沿射線CA以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時點E從A點出發沿AB以每秒1個單位長度的速度向B點勻速運動，當點E到達B點時D、E都停止運動．點M是DE的中點，直線MN⊥DE交直線BC于點N，點M′與M點關于直線BC對稱．點D、E的運動時間為t（秒）．
（1）當t=1時，AD=2，△ADE的面積為$\frac{4}{5}$；
（2）設四邊形BCDE的面積為S，當0＜t＜3時，求S與t的函數關系式；
（3）當△MNM′為等腰直角三角形時，求出t的值．

Answer 1

分析 （1）由點D的速度得出CD為1，得出AD=2，得出△ADE的面積即可；
（2）根據四邊形BCDE的面積=△ABC的面積-△ADE的面積列出關系式即可；
（3）根據△MNM′為等腰直角三角形滿足的條件計算即可．

解答 解：（1）∵點D從C點出發沿射線CA以每秒1個單位長度的速度勻速運動，
∴當t=1時，CD=1，
∴AD=AC-CD=3-1=2，
同理可得AE=1，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴sin∠A=$\frac{4}{5}$，
∴△ADE的面積=$\frac{1}{2}$×1×2×$\frac{4}{5}$=$\frac{4}{5}$；
故答案為：2；$\frac{4}{5}$；
（2）設四邊形BCDE的面積為S，
當0＜t＜3時，四邊形BCDE的面積=△ABC的面積-△ADE的面積
=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$×t×（3-t）=6--$\frac{2}{5}$t（3-t）；
即S與t的函數關系式是：S=$\frac{2}{5}$t²-$\frac{6}{5}$t+6；
（3）當∠EDA=45°時，△MNM′為等腰直角三角形．
則3-t-$\frac{3}{5}$t=$\frac{4}{5}$t，
解得：t=$\frac{5}{4}$．

點評 此題是三角形綜合題目，考查了三角形的動點問題、勾股定理、等腰直角三角形的性質、三角形面積的計算方法等知識；本題綜合性強，難度適中．