Question

17．如圖，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n與直線y=-$\frac{1}{2}$x+3交于A、B兩點，交x輸的右交點為C，己知A（0，3），C（3，0），P為線段AB上一動點（不含端點）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接PC，求PA+$\sqrt{5}$PC的最小值；
（3）過點P作PM∥y軸交拋物線于M，當△PMB為等腰三角形時，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A（0，3），C（3，0）的坐標代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{\frac{9}{2}+3m+n=0}\end{array}\right.$，解方程組即可．
（2）如圖，作AN∥x軸，PE⊥AN于E，CE′⊥AN于E′，交AB于P′．由題意直線AB與x軸的交點D（6，0），OA=3，OD=6，AD=3$\sqrt{5}$，推出sin∠ADO=sin∠EAP=$\frac{OA}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，推出PE=PA•$\frac{\sqrt{5}}{5}$，所以PA+$\sqrt{5}$PC=$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$•PA+PC）=$\sqrt{5}$（PE+PC），根據垂線段最短可知，當C、P、E共線時，PE+PC最短，PE+PC最小值=CE′=OA=3．
（3）分三種情形討論①當PM=PB時，如圖2中，作BE⊥PM于E．根據PB=$\sqrt{5}$PE=PM，列出方程即可解決問題．②當MP=MB時，如圖3中，延長BM交y軸于E，作EN⊥AB，則EN是線段AB的中垂線．求出直線EN的解析式，列方程組即可．③當BP=BM時，根據線段PM的中點的縱坐標與點B的縱坐標相等列出方程即可．

解答 解：（1）把A（0，3），C（3，0）的坐標代入y=$\frac{1}{2}$x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{\frac{9}{2}+3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+3．

（2）如圖，作AN∥x軸，PE⊥AN于E，CE′⊥AN于E′，交AB于P′．

∵直線AB與x軸的交點D（6，0），
∴OA=3，OD=6，AD=3$\sqrt{5}$
∴sin∠ADO=sin∠EAP=$\frac{OA}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴PE=PA•$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵PA+$\sqrt{5}$PC=$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$•PA+PC）=$\sqrt{5}$（PE+PC），
根據垂線段最短可知，當C、P、E共線時，PE+PC最短，PE+PC最小值=CE′=OA=3，
∴PA+$\sqrt{5}$PC的最小值為3$\sqrt{5}$．

（3）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（4，1），設p（m，-$\frac{1}{2}$m+3），則M（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+3），
①當PM=PB時，如圖2中，作BE⊥PM于E．

∵BE=2PE，BE=4-m，
∴PE=2-$\frac{1}{2}$m，PB=PM=$\sqrt{5}$PE=$\sqrt{5}$（2-$\frac{1}{2}$m），
∴-$\frac{1}{2}$m+3-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+3）=$\sqrt{5}$（2-$\frac{1}{2}$m），
解得m=$\sqrt{5}$或4（舍棄），
∴P（$\sqrt{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{2}$+3）．
②當MP=MB時，如圖3中，延長BM交y軸于E，作EN⊥AB，則EN是線段AB的中垂線．

∵線段AB的中垂線EN的解析式為y=2x-2，
∴E（0，-2），
∴直線BE的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-2，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{5}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴P（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）．
③當BP=BM時，線段PM的中點的縱坐標與點B的縱坐標相等，
∴$\frac{1}{2}$[（-$\frac{1}{2}$m+3）+（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m+3）]=1，
解得m=2或4（舍棄），
∴P（2，2）．
綜上所述，滿足條件的點P坐標為（$\sqrt{5}$，-$\frac{\sqrt{5}}{2}$+3）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）或（2，2）．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、垂線段最短、線段的垂直平分線的判定和性質等知識，第二個問題的關鍵是，用轉化的思想思考問題，把問題，轉化為垂線段最短解決，第三個問題的關鍵是學會用分類討論的解決問題，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．