Question

12．對于正數x，規定f（x）=$\frac{1}{1+x}$，例如：f（4）=$\frac{1}{1+4}$=$\frac{1}{5}$，f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}$，則f（2017）+f（2016）+…+f（2）+f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{1}{2017}$）=$\frac{4033}{2}$．

Answer 1

分析 根據f（x）=$\frac{1}{1+x}$可得出f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{x}{1+x}$，將其相加即可得出f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，由此即可得出原式=2016×1+f（1），代入x=1即可得出結論．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{1+x}$，f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{x}{1+x}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{1+x}$+$\frac{x}{1+x}$=1．
∴f（2017）+f（2016）+…+f（2）+f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+…+f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{1}{2017}$）=1+1+…+1+f（1）=2016×1+f（1）=2016+$\frac{1}{2}$=$\frac{4033}{2}$．
故答案為：$\frac{4033}{2}$．

點評 本題考查了函數值以及規律性中數的變化類，根據函數關系式找出f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1是解題的關鍵．